GeoGebra Fortbildung
Buch mit Materialien der GeoGebra-Fortbildungsreihe des LISA Sachsen-Anhalt
Table of Contents
- Handreichung
- Einleitung, Begleitmaterial etc.
- 2017 - Schwerpunkt: Geometrie
- WB17: Fermat-Punkte
- WB17: Fläche eines Kreises mit CAS
- WB17: Napoleon-Punkte
- WB17: Satz von van Schooten
- WB17: Simson-Wallis-Gerade
- 2018 - Schwerpunkt: Analysis
- To Do
- 2019 - Schwerpunkt: Stochastik
- 2020 - Schwerpunkt: Geometrie
- 2021 - Schwerpunkt: Analysis
- WB21: Präsentation und Einführungsrätsel
- WB21: Lineare Funktion - Visualisierung
- WB21: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
- WB21: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- WB21: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
- 2022 - Schwerpunkt: Analysis
- WB22: Präsentation und Beispielaktivität
- WB22: Lineare Funktion - Visualisierung
- WB22: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
- WB22: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- WB22: Ableitungsfunktion als Tangentenanstiege
- WB22: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
Einleitung, Begleitmaterial etc.
Herzlich Willkommen...
BegleitmaterialGeoGebra
WB17: Fermat-Punkte
Konstruktionsbeschreibung zur Konstruktion des ersten Fermat-Punktes.[br][br][u]Aus Fermats "MAXIMA ET MINIMA" (Universität Michigan Library Digital Collections, 1841):[/u][br][br][i][quote]Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ [br]ad data puncta,summa trium harum rectarum sit minima quantitas.[/quote][/i][i][color=#999999](„Gegeben sind drei Punkte, gesucht ist ein vierter Punkt, so dass [br]die Summe seiner Abstände von den drei gegebenen Punkten ein Minimum [br]wird.“)[/color][/i]
Konstruktionsbeschreibung
Weiterführendes
Fermat-Punkt: [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Punkt]https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Punkt[/url]
To Do
Bitte noch Geduld, die Inhalte werden noch hinzugefügt...
WB21: Präsentation und Einführungsrätsel
2021-11-09 GeoGebra WB
Ab hier das Eingangsrätsel...
...zur Teilbarkeit der Zahlen von 1 bis 100.[br]-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Stelle dir vor du hast in einem Quadrat 100 (durchnummierte) Münzen vor dir liegen, die auf einer Seite [b]schwarz[/b] und auf der anderen seite [b]weiß[/b] sind. Alle liegen mit der [b]schwarzen [/b]Seite nach oben.[br][br]Zähle nun die Zahlen von 2 bis 100 durch und drehe jedesmal (gedanklich) alle Münzen um, die ein [b]Vielfaches [/b]der Zahl sind. Also ein Vielfaches von 2, ein Vielfaches von 3, etc...[br][br]Tust du das, drehst du alle Zahlen mehr oder weniger oft von der schwarzen auf die weiße Seite bzw. umgekehrt.
[color=#B45F06]Wenn du diesen Prozess für die Zahlen von 2 bis 100 durchführst, was für eine Art von Zahlen liegt dann mit der [b]schwarzen [/b]Seite oben? Warum?[/color]
WB22: Präsentation und Beispielaktivität
Präsentation
Ab hier die vorgestellte Aktivität ...
...zum Thema "Funktionen unter Iteration"[br]--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Definition
Iteration meint die wiederholte Anwendung einer Funktion, also die Komposition von[br][math]f^n:=f\circ f\circ...\circ f[/math] (n mal)[br]einer Funktion [math]f:X\rightarrow X[/math] auf einer Menge [math]X[/math].
Beispiel
Gegeben sei die Funktion [math]f\left(x\right)=x^2,x\in\mathbb{R},x\ge0[/math] und [math]x_0=3[/math].[br]Es ist demnach[br][math]f^1\left(x_0\right)=f\left(3\right)=3^2=9[/math][br][math]f^2\left(x_0\right)=f\left(f\left(3\right)\right)=\left(3^2\right)^2=9^2=81[/math][br][math]f^3\left(x_0\right)=f\left(f\left(f\left(3\right)\right)\right)=\left(\left(3^2\right)^2\right)^2=81^2=6.561[/math]
[img]https://i.ibb.co/tpn2gQ7/Icon-Bulb-Blue32.png[/img] Wie groß ist [math]f^4\left(3\right)[/math]?
[img]https://i.ibb.co/tpn2gQ7/Icon-Bulb-Blue32.png[/img] Wie verhält sich die Funktion [math]f[/math] unter unendlicher Iteration ([math]n\rightarrow\infty[/math])?
[img]https://i.ibb.co/tpn2gQ7/Icon-Bulb-Blue32.png[/img] Für welche [math]x_0[/math] hat die Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math] Fixpunkte? Welche Fixpunkte gibt es?
Ein interessanteres Beispiel
Gegeben sei nun die Funktionenschar [math]f_k\left(x\right)=k\cdot x\cdot\left(1-x\right)[/math] mit [math]x\in\mathbb{R},0\le x\le0[/math] und [math]k\in\mathbb{R},k>0[/math].[br][br]Diese (quadratische) Schar beschreibt ein logistisches Wachstum. Eine mögliche Interpretation ist die eines Räuber-Beute Modells, welches aus einer Population [math]x[/math] eines Beutetieres und einer Population [math]1-x[/math] eine Räubers den neuen Populationswert [math]f_k\left(x\right)[/math] bestimmt. [math]k[/math] dient der Skalierung. Die Iterationsschritte sind dabei ein Zeitintervall: [math]f^3[/math] kann beispielsweise als die Population nach 3 Wochen interpretiert werden.[br][br]Von Interesse ist dann nicht der Verlauf einer Scharkurve bei festem k, sondern die Entwicklung der [math]x_i:=f^i\left(x_0\right)[/math] für große [math]i[/math]. Gibt es einen Fixpunkt bei 0 oder 1 ist eine der Populationen ausgestorben. Gibt es einen Fixpunkt dazwischen ist ein Equilibrium (Gleichgewicht) eingetreten.
[img]https://i.ibb.co/tpn2gQ7/Icon-Bulb-Blue32.png[/img] Man untersuche die Funktion [math]f_k\left(x\right)[/math] auf ihr Verhalten bei fortgesetzter Iteration und gebe wenn möglich den Fixpunkt an.[br][list=1][*][math]x_0=0,5[/math] und [math]k=0,7[/math][/*][*][math]x_0=0,5[/math] und [math]k=1,2[/math][br][/*][/list]
Von Interesse ist jetzt die Zuordnung zwischen [math]k[/math] und der Entwicklung der Fixpunkte (für [math]x_0=0,5[/math]).[br][br][img]https://i.ibb.co/tpn2gQ7/Icon-Bulb-Blue32.png[/img] Man skizziere den vermuteten Zusammenhang in das vorgegebene Koordinatensystem für [math]0\le k<4[/math].
[img]https://i.ibb.co/hckJY1Q/Icon-GG-Blue32.png[/img] Im nachfolgenden Applet kann der Zusammenhang von k zu den Fixpunkten erkundet werden. Mit einem Klick auf den "Play"-Button wird die Zuordnung gezeichnet. Um einen Abschnitt auf der x-Achse genauer zu betrachten, kann die Zoom-Funktion genutzt werden (d[i]ann muss die Funktion aber neu gezeichnet werden)[/i].
Zusammenfassung
Ab einem bestimmten Wert von [math]k[/math] (etwas über 3) gibt es nicht mehr nur einen Fixpunkt, sondern alternerierend mehrere - präziser verdoppelt sich die Anzahl der Fixpunkte für ein gegebenes [math]k[/math] regelmäßig und in kürzer werdenden Intervallen.[br][color=#B45F06][b][br][img]https://i.ibb.co/WgkFKVV/Icon-Blue-Eye32.png[/img][/b][/color] Genaueres dazu und was das mit der Zahl 4,66920... zu tun hat erklärt, wird hervorragend von [url=https://www.geogebra.org/u/sparksmaths]Ben Sparks[/url] im Video erklärt.
References
Wikipedia: [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante]https://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante[br][/url][br][url=https://mathworld.wolfram.com/about/author.html]Weisstein, Eric W.[/url] "Feigenbaum Constant."[br]From [url=https://mathworld.wolfram.com/][i]MathWorld[/i][/url]--A Wolfram Web Resource. [url=https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html]https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html[/url][br]