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GeoGebra Fortbildung
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1. Handreichung
- Einleitung, Begleitmaterial etc.
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2. 2017 - Schwerpunkt: Geometrie
- WB17: Fermat-Punkte
- WB17: Fläche eines Kreises mit CAS
- WB17: Napoleon-Punkte
- WB17: Satz von van Schooten
- WB17: Simson-Wallis-Gerade
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3. 2018 - Schwerpunkt: Analysis
- To Do
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4. 2019 - Schwerpunkt: Stochastik
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5. 2020 - Schwerpunkt: Geometrie
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6. 2021 - Schwerpunkt: Analysis
- WB21: Präsentation und Einführungsrätsel
- WB21: Lineare Funktion - Visualisierung
- WB21: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
- WB21: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- WB21: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
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7. 2022 - Schwerpunkt: Analysis
- WB22: Präsentation und Beispielaktivität
- WB22: Lineare Funktion - Visualisierung
- WB22: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
- WB22: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- WB22: Ableitungsfunktion als Tangentenanstiege
- WB22: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
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GeoGebra Fortbildung
MismatchEta, Nov 3, 2020
Buch mit Materialien der GeoGebra-Fortbildungsreihe des LISA Sachsen-Anhalt
Table of Contents
- Handreichung
- Einleitung, Begleitmaterial etc.
- 2017 - Schwerpunkt: Geometrie
- WB17: Fermat-Punkte
- WB17: Fläche eines Kreises mit CAS
- WB17: Napoleon-Punkte
- WB17: Satz von van Schooten
- WB17: Simson-Wallis-Gerade
- 2018 - Schwerpunkt: Analysis
- To Do
- 2019 - Schwerpunkt: Stochastik
- 2020 - Schwerpunkt: Geometrie
- 2021 - Schwerpunkt: Analysis
- WB21: Präsentation und Einführungsrätsel
- WB21: Lineare Funktion - Visualisierung
- WB21: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
- WB21: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- WB21: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
- 2022 - Schwerpunkt: Analysis
- WB22: Präsentation und Beispielaktivität
- WB22: Lineare Funktion - Visualisierung
- WB22: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
- WB22: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
- WB22: Ableitungsfunktion als Tangentenanstiege
- WB22: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
Einleitung, Begleitmaterial etc.
Herzlich Willkommen...
BegleitmaterialGeoGebra
WB17: Fermat-Punkte
Konstruktionsbeschreibung zur Konstruktion des ersten Fermat-Punktes.
Aus Fermats "MAXIMA ET MINIMA" (Universität Michigan Library Digital Collections, 1841):
Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta,summa trium harum rectarum sit minima quantitas.(„Gegeben sind drei Punkte, gesucht ist ein vierter Punkt, so dass die Summe seiner Abstände von den drei gegebenen Punkten ein Minimum wird.“)
Konstruktionsbeschreibung
Weiterführendes
Fermat-Punkt: https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Punkt
To Do
Bitte noch Geduld, die Inhalte werden noch hinzugefügt...
2021 - Schwerpunkt: Analysis
09.11.2021: Lucas-Cranach-Gymnasium Wittenberg
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1. WB21: Präsentation und Einführungsrätsel
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2. WB21: Lineare Funktion - Visualisierung
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3. WB21: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
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4. WB21: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
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5. WB21: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
WB21: Präsentation und Einführungsrätsel
2021-11-09 GeoGebra WB
Ab hier das Eingangsrätsel...
...zur Teilbarkeit der Zahlen von 1 bis 100.
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Stelle dir vor du hast in einem Quadrat 100 (durchnummierte) Münzen vor dir liegen, die auf einer Seite schwarz und auf der anderen seite weiß sind. Alle liegen mit der schwarzen Seite nach oben.
Zähle nun die Zahlen von 2 bis 100 durch und drehe jedesmal (gedanklich) alle Münzen um, die ein Vielfaches der Zahl sind. Also ein Vielfaches von 2, ein Vielfaches von 3, etc...
Tust du das, drehst du alle Zahlen mehr oder weniger oft von der schwarzen auf die weiße Seite bzw. umgekehrt.
Wenn du diesen Prozess für die Zahlen von 2 bis 100 durchführst, was für eine Art von Zahlen liegt dann mit der schwarzen Seite oben? Warum?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Es liegen nur die Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) mit der schwarzen Seite oben.
Begründung:
1. Jede Zahl hat ein gerade Anzahl von Teilern. Und für jeden Teiler werden die Münzen einmal umgedreht. Da aber für die Zahl 1 nicht umgedreht wird, wird jede Münze ungerade oft gedreht, liegt also mit der weißen Seite oben.
2. Nur die Quadratzahlen bilden eine Ausnahme, da diese einen Teiler doppelt haben (ihre Wurzel), für den sie aber nicht 2 mal gedreht werden. Die Quadratzahlen werden also gerade häufig gedreht und liegen dadurch mit der schwarzen Seite oben.
2022 - Schwerpunkt: Analysis
08.11.2022: Lucas-Cranach-Gymnasium Wittenberg
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1. WB22: Präsentation und Beispielaktivität
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2. WB22: Lineare Funktion - Visualisierung
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3. WB22: Lineare Funktion - Selbstständige Übung
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4. WB22: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
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5. WB22: Ableitungsfunktion als Tangentenanstiege
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6. WB22: Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens
WB22: Präsentation und Beispielaktivität
Präsentation
Ab hier die vorgestellte Aktivität ...
...zum Thema "Funktionen unter Iteration"
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Definition
Iteration meint die wiederholte Anwendung einer Funktion, also die Komposition von
(n mal)
einer Funktion auf einer Menge .
Beispiel
Gegeben sei die Funktion und .
Es ist demnach
Wie groß ist ?Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Wie verhält sich die Funktion unter unendlicher Iteration ()? Für welche hat die Funktion Fixpunkte? Welche Fixpunkte gibt es?Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
: Fixpunkt bei 0.
: Fixpunkt bei 1.
Ein interessanteres Beispiel
Gegeben sei nun die Funktionenschar mit und .
Diese (quadratische) Schar beschreibt ein logistisches Wachstum. Eine mögliche Interpretation ist die eines Räuber-Beute Modells, welches aus einer Population eines Beutetieres und einer Population eine Räubers den neuen Populationswert bestimmt. dient der Skalierung. Die Iterationsschritte sind dabei ein Zeitintervall: kann beispielsweise als die Population nach 3 Wochen interpretiert werden.
Von Interesse ist dann nicht der Verlauf einer Scharkurve bei festem k, sondern die Entwicklung der für große . Gibt es einen Fixpunkt bei 0 oder 1 ist eine der Populationen ausgestorben. Gibt es einen Fixpunkt dazwischen ist ein Equilibrium (Gleichgewicht) eingetreten.
Man untersuche die Funktion auf ihr Verhalten bei fortgesetzter Iteration und gebe wenn möglich den Fixpunkt an.
- und
- und
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
- : Ein Fixpunkt bei 0.
- : Ein FIxpunkt bei ca. 0,412.
Von Interesse ist jetzt die Zuordnung zwischen und der Entwicklung der Fixpunkte (für ).
Man skizziere den vermuteten Zusammenhang in das vorgegebene Koordinatensystem für .
Man skizziere den vermuteten Zusammenhang in das vorgegebene Koordinatensystem für .
Im nachfolgenden Applet kann der Zusammenhang von k zu den Fixpunkten erkundet werden. Mit einem Klick auf den "Play"-Button wird die Zuordnung gezeichnet. Um einen Abschnitt auf der x-Achse genauer zu betrachten, kann die Zoom-Funktion genutzt werden (dann muss die Funktion aber neu gezeichnet werden).Zusammenfassung
Ab einem bestimmten Wert von (etwas über 3) gibt es nicht mehr nur einen Fixpunkt, sondern alternerierend mehrere - präziser verdoppelt sich die Anzahl der Fixpunkte für ein gegebenes regelmäßig und in kürzer werdenden Intervallen.
Genaueres dazu und was das mit der Zahl 4,66920... zu tun hat erklärt, wird hervorragend von Ben Sparks im Video erklärt.
Genaueres dazu und was das mit der Zahl 4,66920... zu tun hat erklärt, wird hervorragend von Ben Sparks im Video erklärt.References
Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante
Weisstein, Eric W. "Feigenbaum Constant."
From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html
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