Kreise und Spiralen: Fall 2

[size=85]Die Drehstreckungen [math]z\,\mapsto\, a\cdot z \mbox{ mit }a\in\mathbb{C},a\ne0[/math] um den Ursprung [math]O[/math] in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene bilden [br]eine kommutative Untergruppe der [color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color]. [br]Die [i]W-Bewegungen[/i] [math]z\,\mapsto \,e^{t\cdot w}\cdot z\mbox{ mit }t\in\mathbb{R}\mbox{ und }w\in\mathbb{C},\,\,w\pm0[/math] besitzen als Bahnkurven [color=#cc0000][i][b]konzentrische Kreise[/b][/i][/color] um [math]O[/math] [br]([math]w\in i\mathbb{R}[/math]), oder die [color=#cc0000][i][b]Ursprungsgeraden[/b][/i][/color] ([math]w\in\mathbb{R}[/math]) oder[color=#cc0000][i][b] logarithmische Spiralen[/b][/i][/color] um [math]O[/math], welche die [color=#cc0000][i][b]Ursprungsgeraden[/b][/i][/color] unter [br]dem Winkel [math]\phi=Winkel\left[w\right][/math] schneiden.[br] [math]p_0=\rho\cdot e^{i\cdot\phi}[/math] und [math]p_1=\rho\cdot e^{i\cdot\psi}[/math] sollen, wie im Applet die roten Punkte, auf einem Kreis um [math]O[/math] liegen. [br]Dann ist [math]p_1=e^{i\cdot\kappa}\cdot p_0\mbox{ mit }\kappa=\psi-\phi[/math] die Drehung, welche [math]p_0[/math] in [math]p_1[/math] überführt. [br]Die Gleichung [math]e^{i\cdot\kappa}=e^{s\cdot v}\cdot e^{t\cdot w}[/math] führt auf ein lineares Gleichungssystem in [math]s[/math] und [math]t[/math] mit den Lösungen [br][br]  [math]s_0=\frac{\kappa\cdot \mathbf{Re}\left(w\right)}{\mathbf{Im}\left(v\cdot \bar{w}\right)}\mbox{ und } t_0=\frac{\kappa\cdot \mathbf{Re}\left(v\right)}{\mathbf{Im}\left(v\cdot \bar{w}\right)}[/math][br][br]Die Drehung [math]e^{i\cdot\kappa}[/math], die Drehstreckungen [math]e^{s_0\cdot v}\mbox{ und }e^{t_0\cdot w}[/math] und deren Inverse erzeugen aus [math]p_0[/math] und [math]p_1[/math] das Sechsecknetz.[br][br][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size][/size]

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