[right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] [color=#ff7700][i][b]1. Juli 2021[/b][/i][/color])[/size][/right][br][size=85]Schneidet man eine [color=#999999][i][b]Kugel[/b][/i][/color], oder die [color=#0000ff][b]Möbius-Kugel[/b][/color], mit einer zweiten [color=#ff7700][i][b]Quadrik,[/b][/i][/color] so besitzt das entstehende [color=#ff7700][i][b]Quadrikbüschel [/b][/i][/color][br]mindestens eine [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Ebene[/b][/i][/color] und damit besitzt die [color=#cc0000][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color] mindesten einen [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color].[br]Gibt es mehr als eine solche [/size][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Ebene[/b][/i][/color][/size][size=85], so sind diese paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color].[br]Mit einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] erreicht man in diesen Fällen, dass die [math]xy[/math]-Ebene und die [math]xz[/math]-Ebene [br][/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Ebene[/b][/i][/color][/size] sind.[br]Die 2. [color=#ff7700][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] wird dann zu einem zur [math]xy[/math]-Ebene [color=#134F5C][i][b]senkrechten Zylinder[/b][/i][/color], elliptisch oder hyperbolisch.[br]Der [/size][size=85][size=85][color=#134F5C][i][b]Zylinder[/b][/i][/color][/size] schneidet die [math]xy[/math]-Ebene in einem 2-achsigen [color=#00ffff][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color]. [br]Dieser [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b][size=85][color=#00ffff][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color][/size], senkrecht in [math]z[/math]-Richtung auf die [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size] projiziert, ergibt die [/size][size=85][size=85][color=#cc0000][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color][/size].[br]Projiziert man diese stereographisch in die [b]Gauss[/b]sche [math]xy[/math]-Ebene [math]\mathbb{C}[/math], so erhält man eine [color=#3c78d8][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color].[br]Mit einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] wird diese [/size][size=85][size=85][color=#3c78d8][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size] [color=#BF9000][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den Achsen von [math]\mathbb{C}[/math].[br][br]Im Applet oben variiere man mittels der [color=#00ff00][u][b]Brennpunkte[/b][/u][/color] [math]f,f'[/math] und des Scheitels [i][b][math]s_x[/math][/b][/i] den [/size][size=85][color=#ff7700][i][b][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b][size=85][color=#00ffff][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color][/size][/size][/b][/i][/color] in [math]\mathbb{C}[/math].[br]Für [color=#00ffff][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] wird die Parameterdarstellung[br] [math]\mathbf{ell}\left(u\right):=m+a\cdot \cos\left(u\right)+b\cdot i\cdot \sin\left(u\right)[/math] mit [math]m=\frac{1}{2}\cdot\left(f+f'\right)[/math], [math]a=\left|s_x-m\right|[/math], [math]e=\left|f-m\right|[/math] und [math]b=\sqrt{a^2-e^2}[/math][br]senkrecht auf die [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size] projiziert: [math]\mathbf{Ell_{\left\{\pm\right\}}}(u):=\left(x\left(\mathbf{ell}\left(u\right)\right),y\left(\mathbf{ell}\left(u\right)\right),\frac{\pm 1}{\sqrt{1- \left|\mathbf{ell}\left(u\right)\right|^2}}\right)[/math].[br]Diese [/size][size=85][color=#cc0000][i][b]Schnittkurve[/b][/i][/color][/size][size=85] stereographisch in [math]\mathbb{C}[/math] projiziert, ergibt eine [i][b]Parameterdarstellung[/b][/i] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color]:[br][list][*][math]\mbox{ }\mathbf{bizQu_{\left\{\pm\right\}}}\left(u\right):=\frac{1}{1\pm\sqrt{1-\left|\mathbf{ell}\left(u\right)\right|^2}}\cdot \mathbf{ell}\left(u\right)[/math].[/*][/list]Die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size] [math]T\left(z\right):=\frac{z-1}{z+1}[/math], angewandt auf diese Parameterdarstellung der [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color][/size] [br]ergibt eine achsensymmetrische [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color][/size] in Parameterdarstellung.[br]Die Parameterdarstellung für den Fall, dass der [color=#00ffff][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] eine [color=#00ffff][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] ist, wäre analog möglich, wir haben sie [br]jedoch nicht eingeplant, um die Applet-Ladezeit zu begrenzen.[/size]