Eine Kugel kann durch[br][center] [math]\Phi:[0,\pi]\times[0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^3,\Phi(s,t)=\left(r \cdot \sin(s) \cdot \cos(t),r\cdot sin(s) \cdot \sin(t),r\cdot cos(s) \right)[/math] [/center]parametrisiert werden (Kugelkoordinaten).

[br]Der Flächeninhalt der Fläche S ist definiert durch[br][center] [math]I\left(S\right) = \int_{K} {\left| n(s,t) \right|} \, d(s,t)[/math] [/center]wobei der Normalvektor [math]n[/math] in [math]\Phi\left(s,t\right)[/math] festgelegt ist durch[br][center][math]n\left(s,t\right):=\frac{\partial\Phi}{\partial{s}} \left(s,t\right) \times \frac{\partial\Phi}{\partial{t}} \left(s,t\right) [/math][/center][br]Der Normalvektor ist im Fall der Kugel[br][br][math]n\left(s,t\right):=\frac{\partial\Phi}{\partial{s}} \left(s,t\right) \times \frac{\partial\Phi}{\partial{t}} \left(s,t\right) = \left( \begin{array}{ccc}r \cdot cos(s) \cdot cos(t)\\ r \cdot cos(s) \cdot sin(t) \\ -r\cdot sin(s) \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} -r \cdot sin(s)\cdot sin(t)\\ r \cdot sin(s) \cdot cos(t) \\ 0 \end{array} \right) = \\[br]\hspace{220} = \left( \begin{array}{ccc}r^2 \cdot sin^2(s) \cdot cos(t)\\ -r \cdot sin^2(s) \cdot sin(t) \\ r^2 \cdot sin(s) \cdot cos(s) \cdot cos^2(t) + r^2 \cdot sin(s) \cdot cos(s) \cdot sin^2(t) \end{array} \right) = \\[br][br]\hspace{220} = \left( \begin{array}{ccc}r^2 \cdot sin^2(s) \cdot cos(t)\\ -r^2 \cdot sin^2(s) \cdot sin(t) \\ r^2 \cdot sin(s) \cdot cos(s) \end{array} \right) [br][br][/math] [br][br]Der Betrag des Normalvektors ist somit[br][br][math]\left|n\left(s,t\right)\right| = \sqrt{ r^4 \cdot sin^4(s) \cdot cos^2(t) + r^4 \cdot sin^4(s) \cdot sin^2(t) + r^4 \cdot sin^2(s) \cdot cos^2(s) } = \\[br]\qquad = r^2 \cdot sin(s) \cdot \sqrt{ sin^2(s) + cos^2(s) } = r^2 \cdot sin(s)[br][/math][br][br]Damit ergibt sich für den Flächeninhalt[br][br][math] \mathbf{I\left(S\right)} = \int_{ \left[0,\pi\right] \times \left[0,2\pi \right]} {r^2\cdot sin^{2}\left(s\right) \,d\left(s,t\right)} = \int_{0}^{\pi} { \left( \int_{0}^{2 \pi} r^2 \cdot sin(s) \, dt \right) \, ds } [br]= r^2 \cdot \int_{0}^{\pi} {\left. \left( sin(s) \cdot t \right|_{0}^{2 \pi} \right) \, ds } = \\[br]\qquad = r^2 \cdot 2\pi \cdot \int_{0}^{\pi} {sin(s) \, ds } = r^2 \cdot 2\pi \cdot \left. {\left( -cos(s)\right) } \right|_{0}^{\pi} = \mathbf{ 4r^2 \pi} [/math][br][br]