Sei f eine Funktion [math]f: D(\subset \mathbb{R}) \to \mathbb{R}[/math] .[br]f heißt [b]stetig [/b]an der Stelle [math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math] \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ \, \forall x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/math][br][br][i]In Worten:[br]Eine Funktion ist [b]stetig[/b] an der Stelle x[sub]0[/sub], wenn es für alle [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] , und seien diese ε noch so klein, ein [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass für alle [/i][math]x\in D[/math][i], die von x[sub]0[/sub] höchstens einen Abstand von δ haben (d.h. [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i]), gilt, sodass der Abstand des Funktionswertes f(x) an der Stelle x vom Funktionswert f(x[sub]0[/sub]) an der Stelle x[sub]0[/sub] kleiner als ε ist (d. h. [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| < \epsilon[/math][i] ).[/i][br][br][b]Aufgabe[/b] [list][*]Verkleinere die ε-Umgebung um [math]f(x_0)[/math].[/*][*]Verändere die Position der Stelle [math]x_0[/math].[/*][*]Verändere die Position von x in der δ-Umgebung von [math]x_0[/math].[/*][*]Untersuche die Stetigkeit von anderen Funktionen, die du im Dropdown -Feld wählen kannst.[/*][/list][br][i]Hinweis:[br]Eine Funktion ist [b]nicht stetig[/b] (unstetig), wenn es ein [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass es für alle [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] ein [/i][math]x\in D[/math][i] mit [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i] gibt, für das [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| \geq \epsilon[/math][i] ist.[br]f ist [b]nicht stetig [/b]an der Stelle [/i][math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math]\exists \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall \delta \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| \geq \epsilon[/math]