[list][*][size=150][color=#9900ff][b]egy pont tükörképének az ugyanerre az egyenesre vonatkozó tükörképe az eredeti pont; [/b][/color][/size][/*][/list][br][i]Involutorikus[/i]nak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyeket bármely geometriai alakzatra ,majd a keletkezett képére alkalmazva visszakapjuk az eredeti alakzatot. Ilyen az euklideszi geometriában a tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, és az inverzió is.[br][br]Jelen esetben az a kérdés, hogy a P-modellen értelmezett[b] HTükrözés[][/b] involutorikus-e? Elvileg az, hiszen ez a transzformáció - euklideszi értelemben tengelyes tükrözés, vagy inverzió. Mégis indokolt feltenni a kérdést: ugyanez [u]milyen pontosan[/u] működik a GeoGebrában, jelesül a P-modellen?[br] [br]Előrebocsátjuk, hogy egy geometriai alakzatok megjelenítését végző  (de a háttérben nyilvánvalóan véges pontosságú számokkal dolgozó) számítógép algebrai rendszer soha nem lehet tökéletesen pontos, így ez a GeoGebrától sem várható el. [br][br]A Geogebra akkor tekint két pontot azonosnak, ha a koordinátáik különbsége mindkét koordinátára nézve nem nagyobb, mint  a Geogebra rajzlap [sup] [/sup]egységének a 10[sup]-8 [/sup]-szorosa. Ugyanakkor a rajzlap nagyítása (zoomolása) sem folytatható vég nélkül. Addig lehet a rajzlapot nagyítani, amíg a megjelenített rács egysége 10[sup]-13[/sup] -nál nagyobb.[br][br]Maga a program 15 tizedesjegynyi pontosan számol, így az ilyen pontosan kiírt számolási eredményekben már előfordulhatnak kimutatható eltérések, amelyek az elegendően erős nagyításnak alávetett rajzlapon már láthatóvá válnak. [br]

Olvasóinkra bízzuk annak a kísérletnek az elvégzését, hogy a fenti a programban mennyire kellett  „kivinni” az alapkör szélére a [i]t[/i] tengelyt ahhoz, hogy előállíthassunk egy olyan képet, amelyen a tükörkép tükörképe a rajzon látható módon ( már) nem esik egybe az eredetivel, noha  (még) egybeesőnek tekinti a GeoGebra a C és a C[sub]2[/sub] pontot.

[color=#9900ff] o [b] Az egy egyenesre eső pontoknak a tükörképei is egy egyenesre esnek; (A tükrözés egyenes-tartó.)[/b][/color][br]Azt vizsgáljuk a P-modellen, hogy ha a [i]P [/i]pont illeszkedik az[i] e=(C,D[/i]) egyenesre, akkor vajon a [i]P[/i]- nek a [br][i]t=(A,B) [/i]egyenesre vonatkozó [i]P[sub]t[/sub][/i] tükörképe illeszkedik-e az [i]e [/i]egyenes e[sub]t[/sub]=(A[sub]t[/sub],B[sub]t[/sub]) tükörképére. Vagyis  a [b]HTükrözés[] [/b]eljárás valóban "H-Egyenes”-tartó-e.?[br][br]Erre a vizsgálatra egy lehetőség kínálkozik. Adjuk meg[i] P[/i] pontot a [b]P=Pont[e] [/b]paranccsal. Ekkor [i]P[/i] illeszkedni fog az[i] e[/i] egyenesre. A GeoGebra  [b]Kapcsolat[P_t,e_t][/b] parancsával tudjuk megvizsgálni a [i]P[/i][sub]t [/sub]és az[i] e[/i][sub]t [/sub]objektumok kapcsolatát. Ezt a parancsot most egy gomb segítségével aktivizálhatjuk. [br][br]Vajon a GeoGebra rajzlap ilyen nagyítása mellett mekkora lehet – mondjuk a Föld méretéhez képest ‑ a[br] P-modell alapköre, amelynek a sugara a rajzlap koordináta rendszerében 10 egység?[br]Akinek - most - nincs kedve ahhoz, hogy számolásra adja a fejét, figyelmébe ajánljuk [url=http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html]ezt a weblapot.[br][/url]Itt jegyezzük meg, hogy a GeoGebra rajzlapon a nagyítás, kicsinyítés (zoomolás) funkciója 10[sup]-13 [/sup]és 5 10[sup]8[/sup] között működik. A fenti link tanulmányozása feltehetően meggyőzte olvasóinkat arról, hogy ezzel a pontossággal elégedettek lehetünk.

[br][br]Meg kell elégednünk az általában megnyugtató, de egészen extrém esetben a látszatnak is ellentmondó nyugtalanító válasszal:

[list][*] [color=#9900ff][b]Egy tengelyesen szimmetrikus pontpárnak egy egyesre vonatkozó tükörképei is tengelyesen    szimmetrikusak. (A tükrözés szimmetriatartó.)[/b][/color][br][/*][/list][color=#333333]Lényegében azt kell szemléltetnünk, hogy három egymást követő H-tükrözés eredménye milyen pontosan egyezik meg egy negyedikkel. Tekintsünk most el attól, hogy itt is provokáljunk ki egy ellentmondásos szituációt.[/color]

Miután láttunk példát és ellenpéldát – mindkét irányban ‑ a P-modell Geogebra rajza és az adott relációra kapott válasz között, megállapodhatunk abban, hogy nem célszerű megszállottan keresnünk ezeket az extrém helyzetekben előbukkanó ellentmondásokat. [br][br]Megnyugodhatunk:[b] [size=150][size=100]a GeoGebrával szemléltetett P-modell több, mint elegendő pontossággal mutatja be az abszolút-, és hiperbolikus geometria alapjelenségeit. [/size][/size][/b]