Kiintopistemenetelmän eli [i]Picardin iteraatiomenetelmän[/i] ideana on muokata yhtälö [math]f(x)=0[/math] muotoon [math]x=g(x)[/math]. Perusajatus on, että yhtälön [math]x=g(x)[/math] juuri, eli samalla yhtälön [math]f(x)=0[/math] juuri, löytyy käyrän [math]y=g(x)[/math] ja suoran [math]y=x[/math] leikkauspisteestä, eli ns. [i]kiintopisteestä[/i] (mistä myös menetelmän nimi johtuu). Nyt yksinkertaisesti valitaan sopiva alkuarvaus [math]x_0[/math], jonka jälkeen iteraatiokaava nollakohdan likiarvolle on [math]x_n=g(x_{n-1})[/math]. Voidaan osoittaa, että jos funktion [math]f[/math] nollakohdan sisältävällä välillä [math]|g'(x)|\leq k<1[/math], tämä iteraatio toimii millä tahansa alkuarvauksella [math]x_0[/math] tältä väliltä. [br][br]Tässä voit tarkastella sopivaa funktiota [math]g[/math] sopivalla alkuarvauksella [math]x_0[/math]. Muutama iteraatio on laskettu valmiiksi taulukon A-sarakkeeseen. Vetämällä solusta A3 alaspäin pitkin saraketta A saat lisää likiarvoja. Vetämällä soluista B1 ja C1 lisää arvoja sarakkeisiin B ja C saat piirrettyä kuvaajaan iteraation reittiä, joka toivon mukaan lähestyy käyrän [math]y=g(x)[/math] kiintopistettä. Appletin oikeassa ylänurkassa olevasta kuvakkeesta pääset palaamaan alkutilanteeseen.[br][br]Huom! B- ja C-sarakkeiden iterointijanoja piirtäessä on huomattava, että saraketta A on oltava laskettuna valmiiksi vähintään kaksi riviä pidemmälle.[br][br]Applettiin on sisällytetty muutakin Geogebran toiminnallisuutta. Tärkeimpänä on mahdollisuus siirtää koordinaatistoa sopivaan paikkaan sekä zoomata kuvaa lähemmäs ja kauemmas.

[list=1][br][*]Kokeile muuttaa iteraation alkuarvausta [math]x_0[/math]. Miten se vaikuttaa kiintopisteen löytymiseen?[br][*]Kokeile toisenlaisia funktioita funktion [math]g[/math] paikalle. Koeta löytää funktioita, joilla iteraatio onnistuu ja funktioita, joilla se ei onnistu. Minkälaisia ominaisuuksia on funktioilla, joilla iteraatio toimii?[br][*]Etsi yhtälölle [math]\sin x+\cos x-2x=0[/math] väliltä [math][0,1][/math] juuri kiintopistemenetelmällä kuuden desimaalin tarkkuudella.[br][*]Funktiot [math]g_1(x)=(x-1)^3[/math] ja [math]g_2(x)=1+\sqrt[3]{x}[/math] ovat toistensa käänteisfunktioita. Mitä voit sanoa niiden kiintopisteistä? Miksi? (Kuutiojuuren saat kirjoittamalla funktion syötekenttään cbrt(x).)[br][*]Ratkaise yhtälön [math]x^3-3x^2+2x-1=0[/math] välillä [math][2,3][/math] oleva juuri neljän desimaalin tarkkuudella käyttäen kiintopistemenetelmää. [br][/list]