5. DG - Das Skalarprodukt, Orthogonalität

Herausforderung 1

Das Skalarprodukt

ist definiert durch [math]\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\a_3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3[/math] hat als Ergebnis einen Vektor hat als Ergebnis eine Zahl ist definiert durch:[math]\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\a_3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right)=[/math] [math]\binom{\begin{matrix}\begin{matrix}a_1\cdot b_1\\a_2\cdot b_2\end{matrix}\end{matrix}}{a_3\cdot b_3}[/math]

Herausforderung 2

Prüfen Sie, ob die beiden Vektoren orthogonal aufeinanderstehen[br][br][math]\begin{matrix}\rightarrow\\u\end{matrix}=\left(\begin{matrix}2\\0.5\\4\end{matrix}\right);\begin{matrix}\rightarrow\\v\end{matrix}=\left(\begin{matrix}-2\\4\\0.5\end{matrix}\right)[/math]

Herausforderung 3

Herausforderung 4

[math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}=\binom{\begin{matrix}2\\a_2\end{matrix}}{-3};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}=\binom{\begin{matrix}-1\\0.5\end{matrix}}{2}[/math][br]Berechnen Sie die fehlenden Koerdinate, so dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind.

Herausforderung 5

Betrachten Sie im Parallelogramm in unten stehendem Applet die beiden Diagonalen bzw. deren Längen [math]\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}+\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|[/math] , [math]\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}-\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|[/math] .[br]Experimentieren Sie mit dem Applet unten und entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig ist.

Sind die beiden Diagonalen gleich lang, so ist das Parallelogramm ein Rechteck. Sind die Diagonalen gleich lang, dann sind die Vektoren [math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math]orthogonal zueinander. [math]\left|\begin{matrix}\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}\end{matrix}+\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}-\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|\Rightarrow\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}\perp\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math] Sind die Diagonalen gleich lang, dann stehen die Vektoren [math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math] in einem Winkel von 90° aufeinander. Gilt [math]\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}+\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}-\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|[/math] dann sind die Vektoren [math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math] orthogonal zueinander.