5. DG - Das Skalarprodukt, Orthogonalität

Herausforderung 1

Das Skalarprodukt

ist definiert durch:[math]\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\a_3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right)=[/math] [math]\binom{\begin{matrix}\begin{matrix}a_1\cdot b_1\\a_2\cdot b_2\end{matrix}\end{matrix}}{a_3\cdot b_3}[/math] ist definiert durch [math]\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\a_3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3[/math] hat als Ergebnis einen Vektor hat als Ergebnis eine Zahl

Herausforderung 2

Prüfen Sie, ob die beiden Vektoren orthogonal aufeinanderstehen[br][br][math]\begin{matrix}\rightarrow\\u\end{matrix}=\left(\begin{matrix}2\\0.5\\4\end{matrix}\right);\begin{matrix}\rightarrow\\v\end{matrix}=\left(\begin{matrix}-2\\4\\0.5\end{matrix}\right)[/math]

Herausforderung 3

Herausforderung 4

[math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}=\binom{\begin{matrix}2\\a_2\end{matrix}}{-3};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}=\binom{\begin{matrix}-1\\0.5\end{matrix}}{2}[/math][br]Berechnen Sie die fehlenden Koerdinate, so dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind.

Herausforderung 5

Betrachten Sie im Parallelogramm in unten stehendem Applet die beiden Diagonalen bzw. deren Längen [math]\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}+\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|[/math] , [math]\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}-\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|[/math] .[br]Experimentieren Sie mit dem Applet unten und entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig ist.

Sind die Diagonalen gleich lang, dann stehen die Vektoren [math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math] in einem Winkel von 90° aufeinander. Sind die Diagonalen gleich lang, dann sind die Vektoren [math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math]orthogonal zueinander. [math]\left|\begin{matrix}\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}\end{matrix}+\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}-\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|\Rightarrow\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}\perp\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math] Sind die beiden Diagonalen gleich lang, so ist das Parallelogramm ein Rechteck. Gilt [math]\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}+\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix}-\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}\right|[/math] dann sind die Vektoren [math]\begin{matrix}\rightarrow\\a\end{matrix};\begin{matrix}\rightarrow\\b\end{matrix}[/math] orthogonal zueinander.