[color=#cc0000][size=50][right][color=#980000][i][b]Jan. 2019: ergänzt um einige weitere Werkzeuge[br][/b][/i][/color][br]Aktualisiert am 18.02.2018: ein hyperbolischer [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/eHMftmsZ]Gärtner[/url] [br]bereitet die hyperbolische Ebene auf den Frühling vor.[br]24.03.2018: Jetzt gibt es auch [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/U75Q3w8w]Gärten auf der Kugel![/url][/right][/size][/color]Durch 5 (verschiedene) Punkte [i]in allgemeiner Lage[/i] geht genau ein Kegelschnitt: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon].[br][i]Kurze Begründung[/i]: 4 der Punkte [math]\mathbf{P}_1,..,\mathbf{P}_5[/math] kann man auf mindestens zwei verschiedene Weisen durch Geraden [math]\mathbf{g}_{ij}=\mathbf{P}_i\mathbf{P}_j[/math] verbinden (falls keine 3 kollinear sind). [math]\mathbf{g}_{12}\vee \mathbf{g}_{34}[/math] und [math]\mathbf{g}_{14}\vee \mathbf{g}_{23}[/math] sind 2 verschiedene zerfallende Kegelschnitte, die beide die 4 Punkte enthalten. Durch jeden weiteren Punkt der Ebene geht genau ein Kegelschnitt aus dem Büschel [math]\lambda\cdot\mathbf{g}_{12}\vee \mathbf{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf{g}_{14}\vee \mathbf{g}_{23}[/math]. [br][br][size=85][size=100]Dies und viele anderen aufregende Dinge findet man in dem Buch "[i][b]Geometriekalküle[/b][/i]" von J. Gebert-Richter und Th. Orendt (Springer 2009).[/size][/size][br][br]Weitere nützliche Werkzeuge zum Experimentieren mit Kegelschnitten wären oder sind:[br][list][*]5 Geraden in allgemeiner Lage sind Tangenten eines eindeutig bestimmten Kegelschnitts.[/*][*]Zu 4 Punkten und einer Geraden gibt es in der Regel genau 2 Kegelschnitte durch die Punkte mit der Geraden als Tangente. Dies hat viel mit [b][i]konfokalen Kegelschnitten[/i][/b] zu tun![/*][*][i]Dual dazu[/i]: 4 Geraden und ein Punkt ...[/*][/list]Eindeutig wird es wieder dann, wenn [b]4 Punkte und eine Tangente in einem der Punkte[/b] vorgegeben sind. [br][br]Was ist der Grund für die obigen Aussagen über Kegelschnitte? [br]Wie berechnet man die gesuchten Kegelschnitte?[br]Welche Rechenmethoden sind hierzu nützlich?[br][br]Eigentlich basiert alles auf der [b]p-q-Formel[/b] und auf ein wenig [b]Linearer Algebra[/b].[br][i][br][b][u]Begründungen[/u][/b]: [/i]kurz ist die Begründung nur mit homogenen Koordinaten und in projektiver Betrachtungsweise![br]Punkte [math]\mathbf{p}=(x,y)[/math] verwenden wir in homogenen Koordinaten [math]\mathbf\vec{p}:=(x,y,1)[/math]. Verbindungsgeraden berechnen sich mit dem Kreuzprodukt: [math]\mathbf\vec{g}_{ij}=\mathbf\vec{p}_i\otimes\mathbf\vec{p}_j[/math], Schnittpunkte ebenfalls: [math]\mathbf\vec{p}_{ij}=\mathbf\vec{g}_i\otimes\mathbf\vec{g}_j[/math].[br]Ein Punkt [math]\mathbf\vec{p}[/math] liegt auf einer Geraden [math]\mathbf\vec{g}=(a,b,c)[/math], wenn das Skalarprodukt [math]\mathbf\vec{g}\circ\mathbf\vec{p} = a\cdot x+b\cdot y+c[/math] Null ergibt. [br]Mit diesen Grundlagen läßt sich Geometrisches trefflich kalkulieren (siehe das obengenannte Buch!).[br]Das Büschel von Kegelschnitten durch 4 vorgegebene Punkte erhält man durch die quadratischen Formen [br][math]\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{14}\vee \mathbf\vec{g}_{23}[/math], ausgeschrieben mit [math]\mathbf\vec{p}=(x,y,1)[/math] und dem Skalarprodukt [math]\circ [/math]:[br][list][*][math]\left(\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{14}\vee \mathbf\vec{g}_{23}\right)\; \left(\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}\right) =\lambda\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{12}\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{g}_{34}\circ \mathbf\vec{p}\right)+\mu\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{13}\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{g}_{24}\circ \mathbf\vec{p}\right) [/math] [br][/*][/list]Die beiden elementaren quadratischen Formen [math]\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{13}\vee \mathbf\vec{g}_{24}[/math] zerfallen jeweils in 2 Geraden, die 4 Punkte [math] \mathbf\vec{p}_1... \mathbf\vec{p}_4 [/math] liegen auf diesen zerfallenden Kegelschnitten.[br]Der Punkt [math]\mathbf\vec{p}[/math] liegt auf einem Kegelschnitt des Büschels, wenn die quadratische Form für [math]\mathbf\vec{p}[/math] Null ergibt. Daraus folgt die Kalkulation für [math]\lambda[/math] und [math]\mu[/math]: [br][list][*][math]\lambda=\left(\mathbf\vec{p}_1\otimes\mathbf\vec{p}_3\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{p}_2\otimes\mathbf\vec{p}_4\circ \mathbf\vec{p}\right)=\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}\right)\cdot\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_2, \mathbf\vec{p}_4,\mathbf\vec{p}\right)[/math] und [math]\mu=-\left(\mathbf\vec{p}_1\otimes\mathbf\vec{p}_2\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{p}_3\otimes\mathbf\vec{p}_4\circ \mathbf\vec{p}\right)=\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}\right)\cdot\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_3, \mathbf\vec{p}_4,\mathbf\vec{p}\right)[/math].[/*][/list]Diese [math]\mu[/math]´s werden manchmal als die [i][b]Plücker[/b][/i]schen [math]\mu[/math]'s bezeichnet: [b]J. Plücker (1801 - 1868)[/b] hat die herausragende Bedeutung der Determinanten und Unterdeterminanten für geometrisches Kalkulieren herausgearbeitet.[br][br][size=85]In Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra erscheint uns das Werkzeug, um solche geometrischen Kalkulationen durchzuführen, (noch?) etwas lückenhaft: [br]Einzelne Punkte [math]\left(x,y\right)[/math] müssen in homogenen Koordinaten [math]\left(x,y,1\right)[/math] dargestellt werden, [br]Geraden [math]a\cdot x+b\cdot x+c=0[/math] [/size][size=85][size=85]müssen ebenfalls in homogene Koordinaten [math]\left(a,b,c\right)[/math][/size] umgewandelt werden. [br]Um die Determinante von 3 Vektoren [math]\left(a,b,c\right),\left(x,y,1\right),\left(u,v,w\right)[/math] auszurechnen, muss man etwas mühsam aus diesen eine Matrix [math]\left\{\left\{a,b,c\right\},\left\{x,y,1\right\},\left\{u,v,w\right\}\right\}[/math] erstellen, dabei ist die Determinante von Vektoren[/size] [math]\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_3\right)[/math] [size=85]direkt berechnen zu können in der Linearen Algebra wie in der Geometrie häufig nützlich. Hinderlich ist auch ein wenig die Inkonsistenz zwischen Vektoren und Listen. [br][br][right][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size][url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh][/url][/right][/size]

In der Ebene [math]z=0[/math] werden 4 Tangenten an den Einheitskreis gelegt, symmetrisch zu den Achsen. Der Brennpunkt [b]F[/b] kann auf dem Einheitskreis bewegt werden. Durch jeden Punkt [b]Z[/b] im Inneren des Einheitskreises gehen 2 "orthogonale" Kegelschnitte, die die Kreistangenten berühren. Die Punkte [math]\mathbf{P}_1[/math] und [math]\mathbf{P}_2[/math] können auf den Kegelschnitten bewegt werden.[br]Über den Kegelschnitten werden 2 [i][b]senkrechte Zylinder[/b][/i] errichtet, welche die Einheitskugel in 2 zweiteiligen Kurven schneiden.[br]Vom Punkt [math]\left(1,0,0\right)\equiv\infty[/math] aus werden diese Kurven [b][i]stereographisch[/i][/b] auf die Ebene x = 0 projiziert. [br]Die Bilder sind [i][b]konfokale[/b][/i] zweiteilige bizirkulare Quartiken mit den 4 Brennpunkten [math]i\cdot f,-i\cdot f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] auf der [math]y[/math]-Achse. Der Wert von [math]f[/math] hängt von der Lage des Punktes [b]F[/b] ab.[br][size=85]Angezeigt wird in der stereographischen Projektion nur die von [math]\mathbf{P}_2[/math] erzeugte zweiteilige Quartik. Die Anzeige dieser Ortskurven ist rechen- und zeitaufwendig.[/size][br][size=100]Die konfokalen Quartiken sind Integralkurven, d.h. Lösungen der elliptischen Differentialgleichung [br][list][*][math]\left(g'\left(z\right)\right)^2=\left(g\left(z\right)^2+f^2\right)\cdot\left(g\left(z\right)^2+\frac{1}{f^2}\right)[/math] mit einem reellen [math]f>1[/math]. [/*][/list][/size][br][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]

Zwei [color=#ff0000][b]konzentrische Kreisbüschel[/b][/color] mit den Brennpunkten [b][color=#00ff00]F[sub]1[/sub][/color][/b] und [b][color=#00ff00]F[sub]2[/sub][/color][/b] werden gedeutet als [i][b]Quelle[/b][/i] oder [i][b]Senke[/b][/i] von Wellenbewegungen.[br]Möbiusgeometrisch handelt es sich um zwei elliptische Kreisbüschel, bei beiden Kreisbüscheln ist [math]\infty[/math] der 2.te Büschelpunkt. Orthogonal zu den elliptischen Kreisbüscheln liegen die Geraden der Geradenbüschel durch [color=#00ff00][b]F[sub]1[/sub][/b][/color] bzw. [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color], hier als "[color=#ff0000][b]Brennstrahlen[/b][/color]" bezeichnet.[br]Eine [color=#ff7700][b]Ellipse[/b][/color] mit den Brennpunkten [b][color=#00ff00]F[sub]1[/sub][/color][/b] und [b][color=#00ff00]F[sub]2[/sub][/color][/b] reflektiert die Brennstrahlen so, dass sie jeweils durch den anderen Brennpunkt gehen.[br]Auch die von einem Brennpunkt ausgehenden Kreis-Wellen werden so an der Ellipse reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt "verschwinden". Hieraus erklärt sich die Deutung als [i][b]Quelle[/b][/i] oder [i][b]Senke[/b][/i].[br]Die Wellen der beiden Wellenbewegungen sind einander über ihre Schnittpunkte auf der Ellipse zugeordnet. Die Schnittpunkte können komplex sein.[br]Verfolgt man den Verlauf einer Welle zB. von der Quelle [b][color=#00ff00]F[sub]2[/sub][/color][/b] einmal [i][b]mit [/b][/i]Reflexion an der [b][color=#ff7700]Ellipse[/color][/b] bis zur Senke [b][color=#00ff00]F[sub]1[/sub][/color][/b], zum anderen [i][b]ohne[/b][/i] Reflexion, so stellt man fest: der in der Senke [b][color=#00ff00]F[sub]1[/sub][/color][/b] verschwindenden Welle entspricht gerade der [color=#0000ff][b]Leitkreis[/b][/color], der zum Brennpunkt [b][color=#00ff00]F[sub]1[/sub][/color][/b] gehört. Dieser [color=#0000ff][b]Leitkreis[/b][/color] ist zugleich ein Kreis des elliptischen Kreisbüschels um [b][color=#00ff00]F[sub]2[/sub][/color][/b].[br][br][i][b]Kurz[/b][/i]: Der zum Brennpunkt [b][color=#00ff00]F[sub]1[/sub][/color][/b] gehörende [b][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/b] ist sein Spieglbild unter der Reflexion an der [b][color=#ff7700]Ellipse[/color][/b].[br]Spiegelt man den Brennpunkt an den Tangenten der [color=#ff7700][b]Ellipse[/b][/color], so liegen die Spiegelpunkte auf dem zugehörigen [b][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/b].[br][br]Die obige Reflexion ist [i][b]möbiusgeometrischer[/b][/i] Natur: die Aussagen treffen zu auf zwei elliptische Kreisbüschel mit einem gemeinsamen Büschelpunkt. Der [color=#ff7700][b]Ellipse[/b][/color] entspricht dann dem möbiusgeometrischen Bild einer Ellipse, das sind spezielle bizirkulare Quartiken. Die Kreise des einen Büschels werden, reflektiert an dieser Quartik, zu den Kreisen des anderen Kreisbüschels. Auch die Rolle des [color=#0000ff][b]Leitkreises[/b][/color] als Spiegel des [b][color=#00ff00]Brennpunktes[/color][/b] bleibt in dieser Sicht erhalten.[br][br]Der aufgeführte Zusammenhang ist ein Spezialfall der Beziehungen von Brennpunkten, Leitkreisen und Kreisbüscheln für bizirkulare Quartiken. Fortsetzung folgt![br][br][size=50][right](11.06.2018) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/right][/size]