[size=85]Das Doppelverhältnis [b] [math]\large{ d=Dv(z_1,z_2,z_3,z_4)}[/math][/b] von 4 Punkten ist von der Reihenfolge abhängig.[br] Bei Vertauschungen erhält man die Werte: [math]d,\frac{1}{d},1-d,\frac{1}{1-d},\frac{d}{1-d},\frac{1-d}{d}[/math].[br] [math]d[/math] und damit alle anderen Werte sind dann und nur dann [i][b]reell[/b][/i], wenn die Punkte auf einem Kreis liegen. [br][math]d[/math] ist [i][b]rein imaginär[/b][/i], wenn die (roten) Kreise [math]K(z_1,z_2,z_3)[/math] und [math]K(z_1,z_2,z_4)[/math] orthogonal sind.[br][math]|d|=1[/math] gilt, wenn die Punktepaare[math]z_1,z_2[/math] [b]und[/b] [math]z_3,z_4[/math] [i][b]spiegelbildlich auf zwei orthogonalen[/b][/i] Kreisen liegen: [br] - Die Symmetriekreise sind in diesem Falle: [br]  einer der beiden [i]gestrichelten[/i] Winkelhalbierenden-Kreise der roten Kreise [br]  und die zusammenfallenden [i]gepunkteten[/i] orthogonalen Kreise durch [math]z_3[/math] und [math]z_4[/math].[br]Bewegen Sie beispielsweise [math]z_4[/math], um die verschiedenen Fälle auszuprobieren.[br]Im Falle [math]d=-1[/math] liegen die Punkte auf einem Kreis [i][b]und[/b][/i] die Punktepaare [math]z_1,z_2[/math] und [math]z_3,z_4[/math] trennen sich harmonisch.[br][u][i][b]Knobelfrage:[/b][/i][/u] In einer ganz speziellen Lage der 4 Punkte sind alle möglichen Doppelverhältnisse vom Betrag 1! [br]Wie liegen dann die Punkte auf der Kugel? Welche Werte besitzen die Doppelverhältnisse?[/size][br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]