[b]Matemáticas IV. Unidad 2: Funciones Racionales y con Radicales.[/b] [b]Tema:[/b] Gráfica, dominio y rango de una función racional [b]Aprendizajes:[/b] Al finalizar la actividad el alumno a partir de la regla de correspondencia de una función racional, determinará su dominio, elaborará una o varias tablas de valores que permitan construir su gráfica, e identificará sus puntos de ruptura, asíntotas y rango. [b]PROBLEMA[/b] ¿Qué debemos saber para graficar una función racional? [b]PREGUNTAS GUÍA PARA RESPONDER LA PREGUNTA PROBLEMA[/b] 1)¿Cuál es una de las restricciones que se le imponen a las funciones racionales? 2)Por lo tanto, el denominador de una función racional debe ser diferente de _________. 3)Luego, se deben excluir los valores de [math]x[/math] que hagan que el denominador sea ___________. 4)¿Cómo determinas los valores de [math]x[/math] que hacen que el denominador sea cero? 5)Una vez que conoces los valores de [math]x[/math] que hacen cero al denominador ¿Éstos valores para qué nos sirven? 6)Además del domino ¿Qué otra información nos proporcionan los valores que hacen cero al denominador de la función? 7)Por la frase “puntos de ruptura de la gráfica” ¿Tú qué entiendes? 8)¿Cómo podemos determinar los puntos de ruptura? 9)¿Qué es una asíntota? 10)¿Cómo podemos determinar las asíntotas verticales de una función racional? 11)¿Será de utilidad determinar el conjunto de valores que podrás dar a la variable independiente [math]x[/math]? 12)¿Cómo se le llama a éste conjunto de valores? 13)Una vez que tienes el dominio ¿Qué procedería hacer para realizar la gráfica? 14)¿Cuántas tablas es conveniente realizar para poder graficar una función racional? [b][color=#c51414]Toma nota:[/color][/b] Si una función tiene tantas ramas como número de ceros reales del denominador más 1. 15)¿Cuántas tablas se tendría que realizar para graficar una función con tres ramas? [b][color=#c51414]Toma nota:[/color][/b] No olvides la siguiente definición: [b]Asíntota[/b], se define como recta a la que una curva se acerca indefinidamente, a medida que [math]x[/math] tiende a cierto valor, sin llegar a tocarla nunca. 16)Rango de una función ¿Tú qué recuerdas que es? [b][color=#c51414]Toma nota:[/color][/b] Si rango es el conjunto de valores que se forma con los resultados obtenidos de sustituir los valores de [math]x[/math] en la función, es decir, el conjunto de valores que forma las respectivas parejas [math]y[/math]. 17)¿Lo que tú recordabas como rango fue correcto? [b][color=#1551b5]¡¡SIGUE TRABAJANDO!![/color][/b]
[b]ACTIVIDAD[/b] [b]CONTINUACIÓN DEL EJERCICIO 1[/b] ¿Recuerdas que ya habíamos estudiado ésta función? Sólo habíamos analizado el dominio y el rango, y por medio de tabla de valores realizaste la gráfica de la función inversamente proporcional. Bueno, pues ahora volvamos a analizar la función [math]f(x)=1/x[/math], pero nos concentraremos en el comportamiento de la gráfica cuando se le asignan valores a [math]x[/math], ya sea que tienden al infinito tanto positivo como negativo, y cercanos a cero. Utiliza para visualizar la gráfica, la aplicación de java en la pantalla, la cual se generó con el software Geogebra y contesta las siguientes preguntas: 18)En general, no sólo para la gráfica mostrada en pantalla ¿Cuál es el dominio de ésta función? 19)¿Recuerdas cómo se debe leer una gráfica, es decir, es lo mismo analizarla de derecha a izquierda que de izquierda a derecha? 20)Por lo tanto ¿Cuál es la forma correcta de leer un gráfico? 21)Sólo para la gráfica [b]mostrada en la pantalla[/b] ¿Cuál es el dominio? 22)¿Qué valor no se le puede dar a [math]x[/math]? 23)Al expresar el dominio de la función ¿Cómo resaltas los valores de x que no se pueden usar? [b][color=#1551b5]MUY BIEN !!![/color][/b] [b][color=#c51414]Toma nota:[/color][/b] Ahora, recuerda que el valor de [math]x[/math] que [b]NO[/b] se puede utilizar porque hace indefinida a la función, es el valor que nos indica dónde hay un punto de ruptura de la gráfica, con los puntos de ruptura más 1, ya sabemos el número de ramas que tendrá la gráfica y por lo tanto, también nos indica que en esos puntos de ruptura existe posiblemente una asíntota vertical. 24)¿De cuántas ramas consta la gráfica? 25)¿Por qué? 26)El único punto de ruptura está en: __________ 27)¿Cómo se determina el valor de [math]x[/math] donde se tiene el punto de ruptura para ésta función? 28)¿Para explorar ésta función cuántas tablas de valores se recomienda realizar y por qué? 29)Al explorar la función de uno y otro lado del punto de ruptura ¿Qué puedes observar? 30)¿Qué sucede cuando le asignas valores a [math]x[/math] muy cercanos a cero, pero acercándote por la izquierda de cero (lado negativo)? 31)¿Qué sucede cuando le asignas valores a [math]x[/math] muy cercanos a cero, pero acercándote por la derecha de cero (lado positivo)? 32)¿Qué sucede cuando le asignas valores a [math]x[/math] muy lejanos a cero, pero alejándote por la derecha (hacia infinito positivo)? 33)¿Qué sucede cuando le asignas valores a [math]x[/math] muy lejanos a cero, pero alejándote por la izquierda (hacia infinito negativo)? [b][color=#1551b5]¡¡EXCELENTE, SIGUE TRABAJANDO!![/color][/b] [b][color=#c51414]Toma nota:[/color][/b] Si el valor de [b][math]f(x)[/math][/b] es muy pequeño pero positivo, se dice que tiende a cero por arriba del eje x, es decir: [math]f(x)->0+[/math] Si el valor de [b][math]f(x)[/math][/b] es muy pequeño pero negativo, se dice que tiende a cero por abajo del eje x, es decir: [math]f(x)->0-[/math] Si el valor de [b][math]f(x)[/math][/b] es muy grande positivo, se dice que crece indefinidamente, es decir, tiende a infinito: [math]f(x)->+∞[/math] Si el valor de [b][math]f(x)[/math][/b] tiende al infinito negativo, se dice que decrece indefinidamente: [math]f(x)->-∞[/math] 34) Realiza un esbozo de la gráfica en tu cuaderno. Marca en ella con colores diferentes las partes en que tiende al infinito negativo, al infinito positivo, hacia cero negativo y hacia cero positivo, ahora contesta lo siguiente: Si [b][math]x-> 0+[/math][/b], [b][math]f(x)[/math][/b] ________ Si [b][math]x-> 0-[/math][/b], [b][math]f(x)[/math][/b] _______ Si [b][math]f(x)-> 0+[/math][/b], entonces [b][math]x->[/math][/b] ________ Si [b][math]f(x)-> 0-[/math][/b], entonces [b][math]x->[/math][/b] ________ 35)¿Cuál es el intervalo (valores de [math]x[/math]) en el que la gráfica es decreciente? 36)¿Cuál es el intervalo (valores de [math]x[/math]) en el que la gráfica es creciente? 37)¿Escribe con simbología (paréntesis, corchetes, desigualdades) el intervalo en el que la gráfica de la pantalla es creciente y/o decreciente? 38)Observa la gráfica de la pantalla ¿Qué valor de y no se utiliza en la gráfica? 39)¿Puedes decir cuál es el rango para [b]la gráfica mostrada[/b]? 40)Por lo tanto el rango para la función [b][math]f(x) = 1/x[/math][/b], expresado con simbología es: _____________ [b]LO APRENDIDO EN ÉSTA ACTIVIDAD[/b] De acuerdo a la actividad ¿Cuáles serían los pasos a seguir para determinar el dominio, puntos de ruptura, ramas, asíntotas verticales, realizar la gráfica y determinar el rango de una función racional? Con esto darías respuesta a la pregunta planteada en el problema. a).– b).– c).– d).– e).– f).– g).– [b][color=#1551b5]¡¡EXCELENTE TRABAJO!![/color][/b] Ahora practica lo anterior, obtén dominio, puntos de ruptura, asíntotas verticales, número de ramas, realiza tablas de valores por rama, realiza un esbozo de la gráfica, y expresa cuál es el rango para las siguientes funciones racionales: 1)[math]f(x)=(x+1)/x[/math] 2)[math]f(x)=1/(x-2)[/math] 3)[math]f(x)=1/(x+1)[/math] 4)[math]f(x)=1/(x^2+1)[/math] 5)[math]f(x)=1/x^2[/math] Si tienes dudas, acude al edificio "G", del plantel Azcapotzalco, al área de asesorías, para que te aclaren las posibles dudas que pudieran surgir, también puedes llevarla a tu salón de clase y preguntarle a tu profesor. [b][color=#1551b5]¡¡SUERTE!![/color][/b]