Methode van Euler
In de voorgaande lessen heb je differentiaalvergelijkingen opgesteld, die model staan voor de groei van een grootheid in een bepaalde situatie. In sommige gevallen kon je de oplossing raden. Bij de differentiaalvergelijking van de logistische groei (vorige les) is dat al een stuk moeilijker. Sterker nog: bij een[br]heleboel differentiaalvergelijkingen in de praktijk is het niet eens mogelijk om een mooie oplossingsformule te vinden. Er bestaan echter ook ‘numerieke methoden’ om benaderingen van oplossingsfuncties te berekenen. De eenvoudigste numerieke methode is die van Euler, het onderwerp van dit hoofdstuk.[br][br]
We kijken nog eens terug naar het voorbeeld van het bakkersgist. [br]Op grond van enkele aannamen is het vermoeden dat het aantal gistcellen per cm[sup]3[/sup] ([math]=A(t)[/math]),[br]zich ontwikkelt volgens de differentiaalvergelijking:[br][math]\frac{dA}{dt}=c\cdot A\cdot\frac{\left(650-A\right)}{650}[/math][br]De gegeven beginwaarde [math]A(0)[/math] is gelijk aan [math]14[/math]en de tijd wordt gemeten in uren.[br][br]Uitgaande van deze beginwaarde gaan we na of het model in staat is de ontwikkeling van het aantal[br]gistcellen in de loop van de tijd goed te voorspellen. Als inleiding hierop kijken we eerst terug naar de [i]lineaire benaderin[/i]g.[br][br]Je weet hoe je een [i]raaklijn [/i]aan de grafiek in een punt kunt tekenen en berekenen.[br]Er geldt dus dat [math]A\left(t\right)\approx A\left(t_0\right)+A'\left(t_0\right)\cdot\left(t-t_0\right)[/math] voor [math]t[/math] ‘in de buurt van' [math]t_0[/math].[br]
Wanneer [math]t-t_0[/math]gelijk aan 1 gekozen wordt, ontstaat de volgende formule:[br][math]A\left(t_0+1\right)\approx A\left(t_0\right)+A'\left(t_0\right)[/math][br][br]Ga dit na.[br][br]
We hebben in de vorige les gevonden:[br][math]\frac{dA}{dt}=0,41\cdot A\cdot\frac{\left(650-A\right)}{650}[/math][br]Gegeven is de beginwaarde 14. [br][br]Bereken [math]\frac{dA}{dt}[/math] op tijdstip [math]t=0[/math].[br]
Als je aanneemt dat de groeisnelheid tijdens het eerste uur niet verandert, kun je nu uitgaande van de beginwaarde een benadering van [math]A\left(1\right)[/math] te berekenen. Doe dat.
Volgens de benadering geldt: [math]A\left(1\right)\approx19,6[/math][br][br]Bereken [math]\frac{dA}{dt}[/math] op het tijdstip[math]t=1[/math] uitgaande van deze berekening[br][br]Welke benadering van [math]A\left(2\right)[/math] kun je nu vinden?
Vul kolom voor kolom de volgende tabel met benaderingen in:[br][br][br]
Meetkundig kun je je deze benaderingswijze als volgt voorstellen:
De methode komt op het volgende neer:[br]
Je maakt hier dus een schatting van [math]A\left(t+1\right)[/math]vanuit [math]A\left(t\right)[/math]volgens[br] [math]A\left(t+1\right)=A\left(t\right)+0,41\cdot\frac{\left(650-A\left(t\right)\right)}{650}[/math][br][br]
Benader de waarden van [math]A(t)[/math] voor [math]t=1,2,...,15.[/math][br]Gebruik hiervoor een spreadsheet in Geogebra of Excel
Vanaf welke waarde van [i][math]t[/math] [/i]wijkt de benadering meer dan 10% af van de gemeten waarde uit hoofdstuk 2, opgave 1?
Een betere benadering krijg je wanneer je met kleinere stapjes naar rechts loopt.[br]Neem een stapgrootte van 0,5.
Ga na dat [math]A(t+0,5)[/math][math]\approx[/math][math]A(t)+A'\left(t\right)\cdot0,5[/math][br][br][br]
Gebruik een rekenbladprogramma om [math]A(1)[/math] te benaderen met stapgrootte [math]0,5[/math]. [br]Let op: je krijgt deze waarde pas na twee stappen![br][br]
In onderstaande tabel staat A(t) voor de werkelijk gemeten aantallen, en A_1(t) voor de benadering met stapgrootte 1. [br]Bij [i]A_[/i]0.5([i]t[/i]) is de stapgrootte 0.5 en bij [i]A[/i]0.1([i]t[/i]) 0.1. [br]Vul de tabel in.
Welke conclusie trek je uit de tabel?
Samengevat: je kunt oplossingen van een differentiaalvergelijking benaderen met de zogenaamde methode van Euler.
