[size=150]1.[/size] Welche geometrische Bedeutung hat [math]\vec{a}\cdot\vec{a}[/math] für [math]\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}[/math]?
Berechne [math]\vec{a}\cdot\vec{a}[/math] für [math]\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}[/math].
[br][math]\vec{a}\cdot\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\cdot\binom{a_1}{a_2}=a_1^2+a_2^2[/math]
Vergleicht man das Ergebnis von Aufgabe 1 mit der Formel für den Betrag des Vektors,[br][math]\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}[/math],[br]so erkennt man:[br][math]\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}[/math] bzw. [math]\vec{a}\cdot\vec{a}=\left|\vec{a}\right|^2[/math], [br]kurz: [math]\textcolor{blue}\bf{\vec{a}^2=\left|\vec{a}\right|^2}[/math].[br]
[size=150]2. [/size]Von zwei Pfeilen sind die Beträge gegeben. Welche Werte kann ihr Skalarprodukt annehmen?
Bewege die Spitze von [math]\vec{b}[/math] und stelle fest, welche Werte [math]\vec{a}\cdot\vec{b}[/math] annimmt.[br]a) Bei welchem Winkel zwischen [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] hat das Skalarprodukt den kleinsten/größten Wert?[br]b) Wie hängen diese Werte mit den Beträgen der beiden Vektoren zusammen?[br]c) Bei welchem Winkel hat das Skalarprodukt den Wert 0?
[br]a) kleinster Wert: -15 bei 180°, größter Wert: 15 bei 0°.[br]b) [math]15=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|,\ -15=-\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|[/math]. [br]c) bei 90°.
[size=150]3. [/size]Um die Ergebnisse von Aufgabe 2 zu verstehen, betrachten wir zuerst den Fall, dass die beiden Vektoren parallel sind, sie also einen Winkel von 0° oder 180° einschließen.[br]
Wie hängt [math]\vec{b}[/math] von [math]\vec{a}[/math] ab, wenn der Winkel 0° beträgt?[br]Drücke dann das Skalarprodukt durch [math]\vec{a}[/math] aus.[br]Forme so um, dass man die Formel für den Betrag des Vektors anwenden kann.[br]
[br][math]\vec{b}=\frac{3}{5}\vec{a}[/math].[br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\left(\frac{3}{5}\vec{a}\right)=\frac{3}{5}\left(\vec{a}\cdot\vec{a}\right)=\frac{3}{5}\cdot\left|a\right|^2=\frac{3}{5}\cdot5^2=3\cdot5[/math].[br]
Wie hängt [math]\vec{b}[/math] von [math]\vec{a}[/math] ab, wenn der Winkel 180° beträgt?[br]Drücke dann das Skalarprodukt durch [math]\vec{a}[/math] aus.[br]Forme so um, dass man die Formel für den Betrag des Vektors anwenden kann.[br]
[br][math]\vec{b}=-\frac{3}{5}\vec{a}[/math].[br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\left(-\frac{3}{5}\vec{a}\right)=-\frac{3}{5}\left(\vec{a}\cdot\vec{a}\right)=-\frac{3}{5}\cdot\left|a\right|^2=-\frac{3}{5}\cdot5^2=-3\cdot5[/math].[br]
Allgemein gilt für [b]parallele Vektoren[/b] [math]\vec{a},\ \vec{b}: \ \vec{b}=r\cdot\vec{a}[/math],[br]wobei [math]r=\pm\frac{\left|\vec{b}\right|} {\left|\vec{a}\right|}[/math], je nachdem ob sie die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung haben.[br]Mit den gleichen Umformungen wie in Aufgabe 3 erhält man dann: [br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|[/math].
[size=150]4.[/size] Nun betrachten wir den Fall, dass die Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] [b]aufeinander normal[/b] stehen; dann ist [math]\vec{b}[/math] ein Vielfaches des um 90° gedrehten Vektors [math]\vec{a}^*[/math].
Berechne das Skalarprodukt [math]\vec{a}\cdot\vec{b}[/math] für [math]\vec{a}\perp\vec{b}[/math].[br](Verwende die Koordinaten, um [math]\vec{b}[/math] durch [math]\vec{a}^*[/math] auszudrücken.)
[br][math]\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\Rightarrow\vec{a}^*=\binom{-a_2}{a_1[/math].[br]Aus [math]\vec{b}=r\cdot\binom{-a_2}{a_1}[/math] folgt[br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=r\cdot\left(a_1\cdot\left(-a_2\right)+a_2\cdot a_1\right)=r\cdot 0=0[/math].
Man kann den Beweis, dass das Skalarprodukt aufeinander normal stehender Vektoren gleich 0 ist, auch ohne Koordinaten durchführen:[br]Die beiden Vektoren sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, sodass man den Satz des Pythagoras anwenden kann.
Drücke den "Hypotenusenvektor" [math]\vec{c}[/math] durch [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aus und wende den Satz des Pythagoras an.[br]Ersetze die Beträge durch das Skalarprodukt und forme die Gleichung um.
[br][math]\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}[/math].[br]Satz des Pythagoras:[br][math]\left|\vec{a}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2=\left|\vec{a}-\vec{b}\right|^2[/math],[br][math]\vec{a}^2+\vec{b}^2=\left(\vec{a}-\vec{b}\right)^2[/math],[br][math]\vec{a}^2+\vec{b}^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2[/math],[br][math]0=-2\vec{a}\cdot\vec{b}[/math].[br]Daraus folgt [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math].
Da die einzelnen Umformungen umkehrbar sind, folgt auch aus [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math], dass [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufeinander normal stehen.
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren stehen genau dann aufeinander normal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot \vec{b}=0}[/math].