[size=150][b][size=150]＜行列って何？＞[br][/size][/b][size=100]日常生活は、データに囲まれている。[br]仕事はもちろんのこと、[br]遊びでもデータの活用は大切だ。[br][/size][b][color=#0000ff]ベクトルを並べると表ができる。[u]表が行列だ[/u]。[br]だから、「行列の積は表の積」ということ。[br]これを身近な例で体験しよう。[br][/color][/b][b][br]さて、ある学校の文化祭で１組と２組は売店を出す計画を立てたとする。[br][/b][size=100]　販売予想はカレー、焼きそば、ラーメンの順に[br]１組＝{200,150,200}, ２組={100, 100, 300}（皿）だった。[br]たてに積むと表ができる。[br][/size][b]販売予想表[br]{200,150,200}, [br]{100,100,300}[br][br][/b][size=100]価格は学校で統一することになり、２案ある。[br]カレー、焼きそば、ラーメンの順に[br]A案={300, 200,1000}, B案={400, 300, 800}(円）[br]たてに積むと表ができる。[br][b]価格案表[br][/b][b]{300, 200,1000},[br]{400, 300, 800}[br][/b][br][b]１組、２組のA案とB案での売上高の予想はどうなるでしょうか？[br][/b][br][/size][size=100]まずA案から、[br]１組は200✕300+150✕200+200✕1000=290000円[br]２組は100✕300+100✕200+300✕1000=350000円[br]まずB案から、[br]１組は200✕400+150✕300+200✕800=285000円[br]２組は100✕400+100✕300+300✕800=310000円[br]どちら組もA案の方が売上が大きいから、A案が支持されるだろう。[br]このような積算、積和は売上、予算、期待値、平均などいたるところで使われる。[br][br][/size][b]売上予想行列Pは、品目順に3列、クラス順に2行。[br][math]\left(\begin{matrix}200,150,200\\100,100,300\end{matrix}\right)[/math][/b][b][br]価格案行列Qは、行と列を入れ替えると、案順に2列、品目順に3行になる。[br][math]\left(\begin{matrix}300,400\\200,300\\1000,800\end{matrix}\right)[/math][/b][size=100]これを[/size][/size][b][size=150][color=#0000ff]対応する品目ごとに積算[/color][/size][/b][size=150][size=100]したのが、[br][/size][/size][b][size=150]クラス順に2行、案順に2列の計算結果行列R[br][/size][/b][size=150][b][math]\left(\begin{matrix}290000,285000\\350000,310000\end{matrix}\right)[/math][br][br]つまり、[u]Pは行ベクトル[/u]が２つ、[u]Qは列ベクトル[/u]が２つ[br]内積は行ベクトル✕列ベクトルだから、[br]値は２✕２で４つ内積が出るね。[/b][b][br][color=#0000ff]これが行列Pと行列Qのかけ算（行列R）を計算するイメージだ。[br][u]Pの横（行ベクトル）[/u]が３要素で、[u]Qの縦（列ベクトル）[/u]が３要素だから、[br]内積が計算できたね。[br]だから、[u]Pの横数（列数）＝Qの縦数（行数）[/u]のときだけ、[br]行列PQの積が計算できるということだね。[/color][/b][b][br][br]＜行列の和と差＞[/b][/size][br]ここまでのイメージをもとにして、一般化、明確化を始めよう。[br][br]データがたて、よこに並んだものを[color=#0000ff][b]行列,基盤[matrix][/b][/color]という。[br]たてよこ表のデータだけを抜き出したようなものだ。[br]表計算ソフトのように、項目名は取り扱わない。[br]そのデータを行列の[color=#0000ff][b]成分,要素[component, element][/b][/color]ともいうね。[br]１[b][color=#0000ff]行[row][/color][/b]だけのデータを行ベクトル、１[color=#0000ff][b]列[column][/b][/color]だけのデータを行ベクトルともいう。[br]これは行列の特殊例だ。[br]行列は行ベクトルを１行以上ならべたか、列ベクトルを１列以上ならべたものともいえるね。[br][br]m行ｎ列行列を[b]m✕n行列[/b]とかくこともある。[br]行列Aのi行j列の位置にある要素を[b]i,j成分[/b]とか[b]aij [/b]と読んだり書いたりすることがあるね。[br][br][u][b]行列の和と差[/b]は同行列数、つまり同サイズの２つの行列の[b]同じ位置の成分の和と差[/b]だ。[br]特に[color=#0000ff]行列らしい特徴[/color]はない。[br][/u]だから、どんな行列でも成分ごとの計算だから、通常の[b]線形な法則[/b]が成り立つね。[br][b]・行列の和と差の性質[/b][br]　結合法則　A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C[br]　交換法則　A＋B＝B＋A[br]　零元　A＋O＝A　O＋A＝A[br]　マイナス元　A＋B＝０ならB＝ーA[br]　定数倍の法則。k(A+B)=kA+kB[br]・行列はサイズを決めると、和で閉じていて、０元があり、逆元があるので、[br]　加法で群になっていると言えるね。[br][br][b][size=150]＜行列の積の一般化＞[/size][/b][br]行列の積の一般化してみよう。[br][color=#0000ff]行列の積は、成分ごとの積ではない。[br]行列の積は行列ならではの定義になる。[br][/color]なれないと複雑に感じる積の定義は、このあとに出てくる[color=#0000ff][b]線形写像[/b][/color]につながる。[br]行列が写像に対応すると、行列の積は写像の合成になる。[br]これがうまくいくために行列の積は定義されているとも言える。[br]行列の積A✕B＝Cの計算の基本は内積だ。[br]行列のサイズによって、内積の回数と位置、つまりサイズがきまる。[br]Aの列サイズ＝Bの行サイズ=nとしよう。[br][b]Aのi行目のn列ベクトル[br]ai[/b]=[ai1,ai2,....,ain], [br][b]Bのj列目のn行ベクトル[br]bj[/b]=[math]\left(\begin{matrix}b1j\\b2j\\....\\bnj\end{matrix}\right)[/math][br]となり、[color=#0000ff][b][size=150][u]Aのi行目の横（行ベクトル）[/u]と[u]Bのj列めの縦（列ベクトル）[/u]の[br]内積の値（積和、積算）をi行j列に並べたのが行列ABの積[/size][/b][/color]になる。[br]Cのi行j列目の内積値cij=[b]ai・bj[/b]

[b][size=150]＜一番単純なのは行ベクトル✕列ベクトル＞[br][/size][/b]内積は１つだけだ。[br]とすると、A={[b]a1[/b]},B={[b]b1[/b]}だから、A✕B= [i][b]a1・b1[/b][br][/i][b]a1[/b]=[a11,a12,....,a1n][br][b]b1[/b]=[math]\left(\begin{matrix}b11\\b21\\....\\bn1\end{matrix}\right)[/math] A✕B= [i][b]a1・b1[/b]=a[sub]11[/sub]b[sub]11[/sub]+a[sub]12[/sub]b[sub]21[/sub]+....+a[sub]1n[/sub]b[sub]n1[/sub][/i][br]1行ｎ列✕ｎ行１列＝行ベクトル✕列ベクトル（内積が[b]１つ[/b]）[br][br][b][size=150]＜次に簡単なのは、m行ｎ列✕ｎ行１列＝m行1列＞[br][/size][/b]A=[math]\left(\begin{matrix}a1\\a2\\...\\am\end{matrix}\right)[/math] 行ベクトルがｍ段[br]B={[b]b1[/b]}だから、[br]AB= [math]\left(\begin{matrix}a1\cdot b1\\a2\cdot b1\\.....\\am\cdot b1\end{matrix}\right)[/math] [br]Aのi 行ベクトルとBの１列ベクトルの内積をi行１列の値とする。[br]行列✕列ベクトル＝ｍ行１列ベクトル（内積が[b]たてにｍ段[/b]並んでる。）[br][br]・同じように簡単なのは、[br]1行ｎ列✕ｎ行ｌ列＝1行ｌ列。[br]A={[b]a1},[br][/b]B={[b]b1,b2,.....,bl[/b]}　列ベクトルがｌ列[br]だから、[br]AB= {[b][i] {a1・b1, a1・b2, ....,a1・bl}[/i][/b]}　[br]行ベクトル✕ｌ列行列＝１行ｌ列ベクトル（内積が[b]横にｌ列[/b]並んでる。）[br][br][b][size=150]＜行列の積の一般と特徴＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b][size=150][size=200]m行ｎ列✕ｎ行ｌ列＝ｍ行ｌ列。[br][/size][/size][/b][/color]Aの列サイズ＝Bの行サイズ=nなら、[br]ｍ行行列✕ｌ列行列＝ｍ行ｌ列（行iはｍ以下、列jはｌ以下だから）[br]A= [math]\left(\begin{matrix}a1\\a2\\...\\am\end{matrix}\right)[/math] (行ベクトルがｍ段）[br]B={[b]b1,　b2,.....,　bl[/b]}　（列ベクトルがｌ列）だから、[br]AB= [math]\left(\begin{matrix}a_1\cdot b_1,a_1\cdot b_2,...,a_1\cdot b_l\\a_2\cdot b_1,a_2\cdot b_2,...a_2\cdot b_l\\......\\a_m\cdot b_1,a_m\cdot b_2,...a_m\cdot b_l\end{matrix}\right)[/math] ( [b]タテにｍ段の内積[/b]が[b]ヨコにｌ列[/b]並んだ。）[br][br][b][size=150]＜積の特徴＞[br][/size][/b]・要素がすべて０の行列は[color=#0000ff][b]零行列[/b][/color]という。AO=OA=O。（可換）[br]　O元　AO＝OA＝０[br]・正方行列（行数＝列数）の場合、[br][b][color=#0000ff]　行位置＝列位置の値（[/color][size=150][color=#9900ff]対角成分aii[/color][/size][color=#0000ff]）=[/color][/b]１で、[br]　それ以外[color=#9900ff][b][size=150]aij(i≠j)[/size][/b][/color]=０を[br][color=#0000ff][b] 　単位行列[/b][/color]という。E,Iなどかく。AE=EA=A（可換）[br]・行列は[b][size=150][color=#9900ff]交換法則の成立を保証しない[/color][/size][/b]。しかし、結合、分配法則は成り立つ。[br]　結合　ABC=（AB)C＝A（BC)[br]　線形性（分配）　A(B+C)＝AB＋AC[br]　線形性（定数倍） (kA)B=k(AB)=A(kB)・X,Yが零行列でないのに、XY＝O行列になるX,Yを[color=#0000ff][b]零因子[/b][/color]という。[br]　零因子がありうる。[br]

・[color=#0000ff][b]転置行列[/b][/color]tAはAの対角成分はそのままにして、行と列を入れ替えたもの。１行１列目はそのまま。[br] 和差と定数倍についても転置は先でも後でも同じことだね。[b][color=#9900ff][sup][/sup][size=150][sup]t[/sup][aij]=[aji][/size][/color][/b][br]　[sup]t[/sup]([sup]t[/sup]A)=A, [sup]t[/sup](A+B)=[sup]t[/sup]A+tB, [sup]t[/sup](kA)= k[sup]t[/sup]A, 　[br] しかし、行列の積はｔを先にすると積の順番が逆になる。[br][b][size=150][color=#0000ff] [sup]t[/sup](AB)=[sup]t[/sup]B[sup]t[/sup]A [br][/color][/size][/b][color=#0000ff]（確認）[br][/color]A= [math]\left(\begin{matrix}a1\\a2\\...\\am\end{matrix}\right)[/math] (行ベクトルがｍ段）[br]B={[b]b1,　b2,.....,　bl[/b]}　（列ベクトルがｌ列）だから、[br]AB= [math]\left(\begin{matrix}a_1\cdot b_1,a_1\cdot b_2,...,a_1\cdot b_l\\a_2\cdot b_1,a_2\cdot b_2,...a_2\cdot b_l\\......\\a_m\cdot b_1,a_m\cdot b_2,...a_m\cdot b_l\end{matrix}\right)[/math] ( [b]タテにｍ段の内積[/b]が[b]ヨコにｌ列[/b]並んだ。）[br][br]Aの列サイズ＝Bの行サイズ=nなら、[br][b]Aのi 行ベクトルaiとBのj列ベクトルbjの内積ai・bjがABのi行j列の値だ。[math]\left(AB\right)ij=\sum^n_{k=i}a_{ik}b_{kj}[/math] [br]この値がｍ行ｌ列ならんだのがABだね。[br][/b]だから、[b]この[u]ai・bjがj行i列に移動[/u]すれば、t(AB)の各成分がｌ行ｍ列にならぶ。[br][/b][br][b][sup]t[/sup]B[sup]t[/sup]A[/b]は[sup]ｔ[/sup](ｎ行ｌ列)✕[sup]ｔ[/sup](m行ｎ列)＝ｌ行ｎ列✕ｎ行ｍ列＝ｌ行ｍ列になるね。[br]列ベクトルがｌ列あるBのｊ列目bjは、転置によってｌ行ある[sup]t[/sup]Bの[b]j行目[sup]t[/sup]bj[/b]になり、[br]行ベクトルがｍ行あるAのi行目aiは、転置によってｍ列ある[sup]t[/sup]Aの[b]i列目[sup]t[/sup]ai[/b]になる。[br]だから、[b][sup]t[/sup]B[sup]t[/sup]A[/b][b]の中身は[br][sup]t[/sup]Bのj行目ベクトル[sup]t[/sup]bjと[sup]t[/sup]Aのi列目ベクトル[sup]t[/sup]aiの[u]内積[b][sup]t[/sup]bj・[b][sup]t[/sup]ai=ai・bj[/b][/b]がj行i列の値[/u]となった。[br][/b]もともとはBのj列ベクトルとAのi行ベクトルの内積と同じ。[br]だから、全体のサイズも対応する成分も同じだね。[br][br][b][size=150]＜対称、交代、直交、随伴＞[br][/size][/b]・[b]逆行列[/b][br]　AX=XA＝EとなるXをAの逆行列といい、A[sup]-1[/sup]とかく。[br][br]・[b]対称行列[/b][br]　対角成分を軸にして、要素が線対称になる行列を対称行列という。[br]　対称行列Aは、[sup]t[/sup]A=Aとなる。要素はaij=ajiとなるね。[br] （例）[br]　[math]\left(\begin{matrix}1,2\\2,1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1,3\\3,3\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1,0\\0,1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}1,2,3\\2,2,3\\3,3,3\end{matrix}\right)[/math][br]・[b]交代行列[br][/b]　対角成分を軸にして、要素の正負が反転してる行列を交代行列という。[br]　交代行列Bは、[sup]t[/sup]B=-Bとなる。要素はaij=-ajiとなるね。[br] i=jのとき、aii=-aiiだから、対角成分aii＝０だ。[br]（例）[br]　[math]\left(\begin{matrix}0,1\\-1,0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0,1,1\\-1,0,1\\-1,-1,0\\\end{matrix}\right)[/math][br]・[b]直交行列[br][/b]　転置行列[sup]t[/sup]Tが逆行列T[sup]-1[/sup]になる行列を直交行列という。[br]　直交行列Tは、[sup]t[/sup]TT=T[sup]t[/sup]T=E　[br] (例）[br]　A=[math]\left(\begin{matrix}cos\theta,-sin\theta\\sin\theta,cos\theta\end{matrix}\right),A^{-1}=\left(\begin{matrix}cos\theta,sin\theta\\-sin\theta,cos\theta\end{matrix}\right)=^tA[/math] , A[sup]t[/sup]A=E[br]・[b]随伴行列[/b][br]　複素数を成分とする正方行列があるとき、各成分を共役にして、転置したもの。[br]　A＝[math]\left(\begin{matrix}1-i,1\\2,1+i\end{matrix}\right),A\ast=\left(\begin{matrix}1+i,2\\1,1-i\end{matrix}\right)[/math] のようにスターなどをつける。[br]・[b]ユニタリー行列[/b][br]　随伴行列A*が逆行列A[sup]-1[/sup]になるもので、直交行列の複素数バージョンというところだね。[br]　A=[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1,i\\i,1\end{matrix}\right),A^{\ast}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1,-i\\-i,1\end{matrix}\right),AA^{\ast}=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}2,0\\0,2\end{matrix}\right)=E[/math] [br]

[b][size=150]＜正則と逆行列＞[/size][/b][br]行列Aに対して行列式d=[b][color=#0000ff]det(A)（Aの行列式）[/color][/b]を求めたとき、[br]d≠０なら行列Aを[b][color=#0000ff]正則[regular]行列[/color][/b]という。[br]d=０なら行列Aを[b]正則でない[/b]という。[br]正則行列Aは[b][color=#0000ff]逆行列A[sup]−１[/sup][/color][/b]をもつ。[br][b]（ちなみに、geogebraではA^-1と順に入力すると、A[sup]-1[/sup]と表示されて、Aの逆行列を求めてくれる）[br]AA[sup]-1[/sup]=E[/b]となる。[br]・２次の逆行列の公式[br]たとえば、A= [math]\left(\begin{matrix}a,b\\c,d\end{matrix}\right)[/math]のとき、A[sup]-1[/sup]＝[math]\frac{1}{ad-bc}\binom{d,-b}{-c,a}[/math]　（対角成分は交換、それ以外は符号反対）[br][br]・正則な正方行列でサイズが同じものは、乗法で群を作るね。[br]Eが単位元、A[sup]-1[/sup]がAの逆元になる。[br][br][b][size=150]＜ケーリー・ハミルトンの定理＞[br][/size][/b][color=#0000ff]A= [/color][math]\left(\begin{matrix}a,b\\c,d\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff] ならば、A[b]2[/b]-(a+d)[b]A[/b]+(ad-bc)[b]E[/b]=[b]O[br][/b]（理由)[/color][br]（A-aE)(A-dE)=[math]\left(\begin{matrix}0,b\\c,d-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a-d,b\\c,0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}bc,0\\ac-dc+dc-ac,bc\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}bc,0\\0,bc\end{matrix}\right)=bcE[/math][br]　 一方、分配法則から、(A-aE)(A-dE)=(A-aE)A-(A-aE)dE=A[sup]2[/sup]-(a+d)A+adE[br]　以上より、A2-(a+d)A+adE=bcEとなるから、[b]A[/b][sup]2[/sup]-(a+b)[b]A[/b]+(ad-bc)[b]E[/b]=[b]O[br][/b][br][color=#0000ff]・さらに、k(A)=A[b]2[/b]-(a+d)[b]A[/b]+(ad-bc)[b]E[/b]=[b]O[/b]Aが解α、βをもつとき、A[sup]n[/sup]=[/color][math]\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}A+\frac{\alpha\beta^n-\alpha^n\beta}{\alpha-\beta}E[/math] 　[color=#0000ff]（理由）[/color][br] 解と係数の関係から、a+d=α+β、ad-bc=αβだから、[br]　　A2=(α+β)A-αβEとなる。式変形して、A2-αA=βA-αβE　[br] つまり、A(A-αE)=β(A-αE)の漸化式がでる。[br]　　だから、A[sup]n[/sup](A-αE)＝β[sup]n[/sup](A-αE)。αとβの対称性からA[sup]n[/sup](A-βE)＝α[sup]n[/sup](A-βE)[br] 両辺の差は、A[sup]n[/sup](βE--αE) = β[sup]n[/sup](A-αE) - α[sup]n[/sup](A-βE)[br] A[sup]n[/sup](β-α)= (β[sup]n[/sup] - α[sup]n[/sup])A + (α[sup]n[/sup]β- β[sup]n[/sup]α)E 　[br]　　これをA[sup]n[/sup]について解けばよいね。[br][br][b][size=150]＜逆行列と対角化＞[/size][/b][br][b][size=150]対角行列[/size][/b]A＝ [math]\left(\begin{matrix}a,0\\0,b\end{matrix}\right)[/math] のとき、A[sup]n[/sup]=[math]\left(\begin{matrix}a^n,0\\0,b^n\end{matrix}\right)[/math][sup][br][/sup]A= [math]\left(\begin{matrix}1,a\\0,1\end{matrix}\right)[/math]のとき、A[sup]n[/sup]= [math]\left(\begin{matrix}1,na\\0,1\end{matrix}\right)[/math][br]A=[math]\left(\begin{matrix}cos\theta,-sin\theta\\sin\theta,cos\theta\end{matrix}\right)[/math] のとき、An＝[math]\left(\begin{matrix}cosn\theta,-sinn\theta\\sinn\theta,cosn\theta\end{matrix}\right)[/math][br]・AをPを使って[color=#0000ff][b]P[sup]-1[/sup]AP＝対角行列[/b][/color]Bとできたら、B[sup]n[/sup]は対角成分をｎ乗したCになる。[br][b][size=150][color=#0000ff]　（P[sup]-1[/sup]AP)[sup]n[/sup]＝P[sup]-1[/sup]A[sup]n[/sup]P＝B[sup]n[/sup][br]A[sup]n[/sup]＝PB[sup]n[/sup]P[sup]-1[/sup][br][/color][/size][/b]・対角成分がすべて同じで、それ以外の成分が０の行列をスカラー行列という。[br]　スカラー行列もｎ乗しやすい。[br]・単位行列のｎ乗は単位行列だ。[br][b][size=150]＜ジョルダン標準形＞[/size][/b][br]・対角行列以外でもｎ乗しやすいものがある。それがジョルダン標準形だ。[br]　対角成分ｘが等しく、左下三角が０、右上三角の対角成分が１なら[br]　[color=#0000ff][b]ジョルダン標準形[/b][/color]という。ジョルダン標準形もｎ乗しやすい。[br]　A＝ｘE＋Fとおくと、EがFに対して可換だから２項定理が使える。[br]F= {{0,1,0},[br] {0,0,1},[br] {0,0,0}},[br]F[sup]2[/sup]={{0,0,1},[br] {0,0,0},[br] {0,0,0}}, [br]F[sup]3[/sup]=F[sup]4[/sup]=....=O[br][color=#0000ff][b][size=150]　A[sup]n[/sup]=(xE)[sup]n[/sup] + nC1(xE)[sup]n-1[/sup]F+ nC2(xE)[sup]n-2[/sup]F[sup]2[/sup]+nC3(xE)[sup]n-3[/sup]F[sup]3[/sup]+.....[br][/size][/b][/color][b][color=#0000ff][size=150] =x[sup]n[/sup]E + nx[sup]n-1[/sup]F+n(n-1)/2x[sup]n-2[/sup]F2[br] ={{x[sup]n[/sup], nx[sup]n-1[/sup], n(n-1)/2 x[sup]n-2[/sup]},[br] {0 , x[sup]n[/sup], nx[sup]n-1 [/sup]},[br] {0 , 0 , x[sup]n [/sup]}}[/size][/color][/b]