La Recta en lo que corresponde a un lugar geométrico, se le asocia como aquel lugar en el cual existen 2 posiciones y esas son equidistadas a través de una longitud que hemos denominado magnitud de tal manera que la concepción total de todo el entorno es lo que con constituye el lugar geométrico tal como se observa, en la siguiente imagen:[br][br][img]https://1.bp.blogspot.com/-eMngq2NcAhw/WNzQxopWPFI/AAAAAAAAAoU/Xe972-ZILPgGpIIsBkQ_tijakJaVsmkvgCLcB/s400/lugargeom.gif[/img][br]Para definir en forma vectorial una recta en R[math]_3[/math], es suficiente conocer un punto de la recta y un [i][b]vector director[/b][/i] que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.[br]

Dados un vector [math]\vec{v}[/math]=(v1,v2,v3) y un punto P[math]_0[/math](x[math]_{ }_0[/math],y[math]_0[/math],z[math]_0[/math]), nos proponemos hallar la ecuación de la recta [b]r[/b] que pasa por el punto P[math]_0[/math] y es paralela al vector [math]\vec{v}[/math][br]Consideremos un punto P(x,y,z) perteneciente a la recta [i]r[/i]. El vector [math]\vec{P_0}\vec{P}[/math] resultará paralelo al vector director [math]\vec{v}[/math][br]

[math]\vec{P_0}\vec{P}[/math]=α[math]\vec{v}[/math][br] (x–x[math]_0[/math],y–y[math]_0[/math],z–z[math]_0[/math])=α(v[math]_1[/math],v[math]_2[/math],v[math]_3[/math])[br][b](x,y,z)=(x[/b][math]_0[/math][b],y[/b][math]_0[/math][b],z[/b][math]_0[/math][b])+α(v[/b][math]_1[/math][b],v[/b][math]_2[/math][b],v[/b][math]_3[/math][b]), α∈R[/b] [b]Ecuación vectorial de la recta[/b]

[math][/math]Hemos visto que la ecuación vectorial de una recta es:[br] (x,y,z)=(x[math]_0[/math],y[math]_0[/math],z[math]_0[/math][math][/math])+α(v[math]_1[/math],v[math]_2_{ }[/math],v[math]_3[/math])[br]Por igualdad de vectores:[br] [b]x=x[/b][math]_0[/math][b]+ α v[/b][math]_1[/math][b][br] y=y[/b][math]_0[/math][b]+α v[/b][math]_2[/math][b] α∈R[br] z=z[/b][math]_0[/math][b]+α v[/b][math]_3[/math] [br] [b]  [br] Éstas son las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta[/b]

Si v1,v2,v3 son distintos de cero, entonces:[br][br][math][/math], α=[math]\frac{x-x_0}{v_1}[/math] ,α= [math]\frac{y-y_0}{v_2}[/math] α=[math]\frac{z-z_0}{v_3}[/math][br]Igualando, resulta:[br][math]\frac{x-x_0}{v_1}[/math]=[math]\frac{y-y_0}{v_2}[/math] =[math]\frac{z-z_0}{v_3}[/math] [b] Ecuaciones simétricas de la recta[/b]

[size=85][b][color=#980000]Bustos Rangel Luis Roberto[br]Noriega Zaldivar Jorge Armando[br]Ortiz Marin Jazmine[br][b]Saavedra Linares Abigail[/b][br][/color][/b][/size][size=85][color=#980000][b]Sánchez Esparza Mariana [/b][/color][/size]

[size=100]Un plano es un espacio afín de dos dimensiones. Un plano es un subconjunto del espacio en el que se verifica que:[br][justify][/justify][list][*]Si una recta tiene más de un punto en un plano, entonces la recta está contenida en el[br]plano.[/*][/list][list][*]Tres puntos no alineados generan un único plano.[/*][/list][list][*]Si dos planos distintos se cortan, su intersección es una recta.[/*][/list][list][*]Dos planos que no tienen ningún punto en común se denominan paralelos.[/*][/list][/size][justify][size=100][br]S[/size]abiendo esto, y a manera de resumen, un plano en el espacio queda completamente determinado dando tres de sus puntos que no sean colineales (es decir, que no estén sobre una misma línea recta) o también dando uno de sus puntos y un vector geométrico no nulo perpendicular al plano. Se entiende que un vector [math]\vec{n}[/math] del espacio es perpendicular a un plano [math]\pi[/math] si [math]\vec{n}[/math] es perpendicular a todo vector [math]\vec{PoX}[/math] con [math]Po[/math] y [math]X[/math]en [math]\pi[/math].[/justify]

[justify]Todo vector geométrico no nulo y perpendicular al plano [math]\pi[/math] se dirá un vector normal a dicho plano.[br]Considerando un plano [math]\pi[/math] y siendo [math]Po[/math] un punto de [math]\pi[/math] y [math]\vec{n}[/math] un vector normal a [math]\pi[/math], podemos emplear el producto escalar para obtener una ecuación del plano que sea completamente análoga a la ecuación en forma normal de una recta en el plano. En efecto un punto [math]X[/math] del espacio está en el plano [math]\pi[/math] si y sólo si el vector [math]\vec{PoX}[/math] es perpendicular a [math]\vec{n}[/math] , es decir, si y sólo si:[/justify][center][math]\vec{PoX}\cdot\vec{n}=0[/math][/center][justify]Ahora, si [math]\vec{n}=\vec{ON}[/math], esta ecuación se puede expresar, usando únicamente vectores algebraicos, en la forma:[/justify][br][center][math]\left(X-Po\right)\cdot N=0[/math] ...(1)[br][br][/center][justify]En adelante, concluimos en decir que un vector [math]N[/math] de [math]ℝ^3[/math] es un vector normal a un plano π siempre que el vector geométrico [math]\vec{ON}[/math] sea un vector normal a [math]\pi[/math].[br][br]La ecuación (1) es una ecuación vectorial no paramétrica para [math]\pi[/math] la cual es llamada una [b][color=#1e84cc]ecuación en forma normal.[/color][br][br][/b]Ahora bien, si [math]X=\left(x,y,z\right)[/math], [math]Po\left(xo,yo,zo\right)[/math] y [math]N=\left(a,b,c\right)[/math], al sustituir [math]X[/math], [math]Po[/math] y [math]N[/math] en la ecuación (1) y realizar el producto escalar, dicha ecuación se transforma en la [b][color=#1e84cc]ecuación escalar[/color][/b][/justify][center][br][math]a\left(x-xo\right)+b\left(y-yo\right)+c\left(z-zo\right)=0[/math] ...(2)[br][/center][justify]la cual es por tanto una ecuación para el plano [math]\pi[/math]; si realizamos los productos indicados en (2), esta ecuación se puede escribir como:[/justify][center][br][math]ax+by+cz=d[/math][/center][br][justify]Donde [math]d=axo+byo+czo[/math][br]Podemos afirmar entonces que todo plano en el espacio tiene una ecuación de la forma:[/justify][br][center][math]ax+by+cz=d[/math] ...(3)[/center][br][justify]La cual llamaremos [color=#1e84cc][b]ecuación en forma general[/b][/color], donde [math]a,b,c[/math] y [math]d[/math] son constantes y [math]a\ne0[/math] o [math]b\ne0[/math] o [math]c\ne0[/math][/justify]