Il perimetro di ogni poligono regolare inscritto è sempre minore del perimetro del poligono circoscritto corrispondente (con lo stesso numero di lati).[br]Aumentando il numero dei lati di un poligono regolare inscritto e del relativo poligono circoscritto, la differenza fra i loro perimetri diventa sempre più piccola.[br]Queste due caratteristiche vengono anche riassunte dicendo che le lunghezze dei poligoni inscritti e quelle dei poligoni circoscritti costituiscono due classi contigue. Per il postulato di continuità esiste sempre ed è unico l’elemento separatore di due classi contigue.[br]In altre parole, esiste una e una sola lunghezza che è maggiore di ognuno dei perimetri dei poligoni inscritti e minore di ognuno dei perimetri dei poligoni circoscritti. Gli elementi di questi due insiemi si avvicinano sempre di più a tale lunghezza, che tuttavia, pur separandoli, non appartiene né all’uno né all’altro.[br]Tale lunghezza viene chiamata lunghezza della circonferenza rettificata (o, in breve, lunghezza della circonferenza).

DEFINIZIONE [br]La lunghezza di una circonferenza è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite dalle lunghezze dei perimetri dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti alla circonferenza.[br]TEOREMA [br]Le misure delle lunghezze di due circonferenze sono proporzionali alle misure dei rispettivi raggi.[br][br]Questo teorema dice che il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, 2r, è costante. Questa costante, che viene indicata con il simbolo [math]\pi[/math] è un numero irrazionale, il cui valore approssimato è 3,141592.[br][br][i]C=2[math]\pi[/math]r[/i]

DEFINIZIONE [br]L’area del cerchio è l’elemento separatore fra le classi contigue costituite dalle aree dei poligoni regolari inscritti e da quelle dei poligoni regolari circoscritti al cerchio.[br]TEOREMA[br]Un cerchio è equivalente a un triangolo che ha base congruente alla circonferenza rettificata e altezza congruente al raggio.[br][br][i]A=[math]\pi r^2[/math][/i]