[size=100][size=150][code][/code][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][br][b]＜集合は思考の道具だ＞[/b][/size][/size][br]集合(class,set)を使うことで、考える対象が明確になる。[br]集合は対象の明確化の道具なので、２つ以上の集合の関係の明確化ができる。[br]だから、集合は論理的に考えるための道具として使うことができる。[br]そのため、集合は数学だけでなく、他の学問、ビジネスでもよく使われる。[br][br]集合の定義は入る資格（[color=#0000ff]内包[Connotation][/color]）か、[br]所属するもの（[color=#0000ff]要素[Element][/color]）の羅列（[color=#0000ff]外延[Extension,Denotation][/color]）によって実行する。[br][color=#0000ff]（例）A={x|xは１けたの正の整数}(内包）、B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}[br][/color] C={x| 3（例）プログラミング言語Pythonでも、リスト(List)と集合(Set)は区別している。[br][br][b][size=150]＜空集合・全体集合・補集合＞[br][/size][/b]集合には大文字1文字を使うことが多い。集合に[color=#0000ff]属する要素[/color]には小文字1文字を使うことが多い。[br][color=#0000ff]（例）[/color]整数aが偶数の集合Eの要素であることの表し方[math]a\in E[/math][br]　bがEの要素でないことは[math]E\not\ni b[/math][br][color=#0000ff][b][size=150]０が数であるように、何も要素がない空っぽの集合である。[br][/size][/b][/color]要素がない集合を、[color=#0000ff][b][空集合](Empty set)と言い、∅、[/b][/color][math]\phi[/math][color=#0000ff][b]とかく[/b][/color]。[br]集合を視覚化するためは、[u]ベン図や表、樹形図[/u]などを使う。[br]集合は単独に使うのではなく、考える対象の全体としての集合の部分として使う。[br][color=#0000ff][全体集合][/color]U（Universe)を整数の集合とするとき、偶数の集合をAとする。[br]Aの以外の部分、UーAは奇数の集合になる。A以外の集合をAの[color=#0000ff][補集合][/color]（余集合）と言う。[br]Aにｃを上につけたり、Aの直前に[math]\neg[/math]をつけたり、Aの真上にーをのせたりする。[br][br][br]

[size=150][b]＜和＞[br][/b][/size] ２つの集合A、Bで、Aの要素[color=#0000ff]「または(or)」[/color]Bの要素の集まりをAとBの[color=#0000ff][和集合(Union)][/color]という。[br][math]\cup[/math]は２つの集合を合併してあわせる演算である。[math]A\cup B[/math]とかく。[br][size=150][b][color=#0000ff]（例）[/color][/b][/size][size=150][size=100]A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば[/size][size=100]、[br]和集合は[/size][/size][size=150][size=100]「３の倍数または５の倍数」の集合。[br][/size][/size][size=150][b][br]＜積＞[br][/b][/size]２つの集合A、Bで、Aの要素[color=#0000ff]「かつ（and)」[/color]Bの要素の集まりをAとBの[color=#0000ff][積集合(Intersection)]（共通部分）[/color]という。[br][math]\cap[/math]は２つの集合の共通部分に限定する演算である。[math]A\cap B[/math][size=150][size=100]とかく[/size][b]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][/b][/size][size=150][size=100]A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば[/size][size=100]、[br]積集合[/size][/size][size=150][size=100]は「3[/size][/size][size=150][size=100]×5＝15の倍数」の集合。[br]（数的、論理的に積に対応するから積集合の名があるのだろう。）[br][/size][/size][size=150][size=150][b][br]＜差＞[br][/b][size=100]全体集合Uのうち、Aの要素[color=#0000ff]「でない」[/color]ものの集まりを[color=#0000ff][補集合(Complement)][/color]という。[br][/size][math]\neg A[/math][size=100]とかくことにする。[br][/size][/size][/size]２つの集合A、Bで、Aの要素「であるが」Bの要素「でない」ものの集まりを[color=#0000ff][差集合(Difference)][/color]という。A-Bとかく.[br]差集合A-B＝[math]A\cap\neg B=A-A\cap B[/math]。[br]AからAとBの積集合（共通部分）を取り除いた残りとも言える。[br][size=150][b][color=#0000ff]（例）[/color][/b][/size][size=150][size=100]A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば、[br]差集合A-Bは３の倍数だが５の倍数でない集合。[br][/size][/size][br][size=150][b]＜対称差＞[/b][/size][br]２つの集合A、Bで、AとBの[color=#0000ff]「どちらか片方だけ」[/color]の要素の集まりをAとBの[color=#0000ff][対称差(Symmetric difference)][/color]という。[br]A-BとB-Aを合併したもので、[color=#0000ff]排他的な和[/color]集合ともいい、[br]狭い方の「[b]日本語のまたは[/b]」と同じ意味になる。[br]回路設計やプログラミングに役立つことがある。[br][math]\left(A\cap\neg B\right)\cup\left(B\cap\neg A\right)[/math][br][size=150][b][color=#0000ff]（例）[/color][/b][/size][size=150][size=100]A＝{x|xは３の倍数｝、B＝{x|xは５の倍数}ならば、対称差は３か５の片方だけの倍数の集合。[/size][/size][br]

[size=150][b]＜集合の要素数＞[/b][/size][br]１つの集合Aの[color=#0000ff]要素数をn(A)[/color]とかき、集合のサイズという。[br][color=#0000ff]（例）[/color]プログラミング言語では、集合やリストAの要素数をsize(A),Length(A),len(A)などと書く。[br][br][b][size=150]＜集合の部分＞[/size][/b][br]１つの集合の要素の一部分を要素とする集合をもとの集合の[color=#0000ff][部分集合[Subset]][/color]という。[br]もとの集合のサイズをｎとすると、ｎ個の要素の所属が２通りずつある。[br]だから、[color=#0000ff]部分集合の個数は2[sup]ｎ[/sup]個[/color]ある。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]A={1,2,3,4}の部分集合は2[sup]n[/sup]個ある。[br]　サイズ４が4C4、サイズ３が4C3、サイズ２が4C2、サイズ１が4C1、サイズ０が4C0(個）[br] [color=#0000ff]4C4+4C3+4C2+4C1+4C0=1+4+6+4+1=16=2[sup]4[/sup][br]　[/color]サイズ４が4C4＝１個ある。{1,2,3,4}[br] サイズ３が4C3＝４個ある。{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}[br] サイズ２が4C2＝６個ある。{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}[br] サイズ１が4C1＝４個ある。{1},{2},{3},{4}[br] サイズ０が4C0＝１個ある。[math]\phi[/math] [br]どんな整数の約数にも１とその数自身があるように、[br]どんな集合の部分集合として、空集合とその集合自身の２個はある。[br][br][b][size=150]＜集合の包含と相等＞[/size][/b][br]AがBの部分集合ならば、[math]A\subseteq B[/math]。BがAの部分集合ならば、[math]B\subseteq A[/math]。[br]この２つが両方なりたつときに、[math]A=B[/math](相等）[br][color=#0000ff]（例）[/color]６の倍数Aは２の倍数Bの部分集合なので、[math]A\subset B[/math][br][br][b][size=150]＜集合の類別＞[/size][/b][br]１つの集合を重なりのない複数の集合に分けることを類別という。[br][color=#0000ff]（例）[/color]整数全体Nを、５で割ったあまりによって、５つの集合に類別できる。[br]余りがｎの部分集合をCnとかくと、[br][math]N=C0\cup C1\cup C2\cap C3\cap C4[/math]（整数は余りが0,1,2,3,4のどれか１つに決まり、それ以外ない）[br][math]i\ne j\therefore Ci\cap Cj=\phi[/math](余りがちがうと重なる要素はない。排反）