Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função diferenciável no aberto [math]A\subseteq Dom\left(f\right)[/math], Seja [math]g[/math] uma função de classe [math]C^1[/math] em [math]A[/math] e seja [math]B=\text{\{ (x,y) \in A \mid g(x,y)=0 \}}[/math]. Suponha que [math]\nabla g\left(x,y\right)\ne\vec{0}[/math] para todo [math]\left(x,y\right)\in B[/math]. Se [math]\left(x_0,y_0\right)\in B[/math] é um ponto de máximo ou mínimo de [math]f[/math] em [math]B[/math], então existe [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math] tal que [br][br] [math]\nabla f\left(x,y\right)=\lambda\nabla g\left(x,y\right)[/math].[br][br]Desta forma, os candidatos a máximo ou mínimo de [math]f[/math] em [math]B[/math], são os pontos [math]\left(x,y\right)\in B[/math] que satisfazem o sistema abaixo para algum [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][br] [math]\text{\begin{cases} \nabla f(x,y) = \lambda\nabla g(x,y) \\ g(x,y) = 0 \end{cases}}[/math][br][br]Denominamos os [math]\lambda[/math]'s que satisfazem o sistema acima como multiplicadores de Lagrange. Note também que os [math]\lambda[/math]'s são os coeficientes da combinação linear [br][br] [math]\nabla f\left(x,y\right)-\lambda\nabla g\left(x,y\right)=0[/math].[br][br]No applet abaixo é possível observar o uso desse método para localizar máximos e\ou mínimos, representados em amarelo. O segmento em preto representa o vetor gradiente de [math]f[/math] e enquanto o vermelho representa o vetor normal a curva e é possível, através da movimentação do ponto [math]A[/math], observar uma relação entre esses dois vetores nos pontos críticos.

Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função diferenciável no aberto [math]A\subseteq Dom\left(f\right)[/math], Seja [math]g[/math] uma função de classe [math]C^1[/math] em [math]A[/math] e seja [math]B=\text{\{(x,y,z) \in A \mid g(x,y,z) = 0 \}}[/math]. Suponha que [math]\nabla g\left(x,y,z\right)\ne\vec{0}[/math] para todo [math]\left(x,y,z\right)\in B[/math]. Se [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)\in B[/math] é um ponto de máximo ou mínimo de [math]f[/math] em [math]B[/math], então existe [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math] tal que [br][br] [math]\nabla f\left(x,y,z\right)=\lambda\nabla g\left(x,y,z\right)[/math].[br][br]Desta forma, os candidatos a máximo ou mínimo de [math]f[/math] em [math]B[/math], são os pontos [math]\left(x,y,z\right)\in B[/math] que satisfazem o sistema abaixo para algum [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math][br][br] [math]\text{\begin{cases} \nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z) \\ g(x,y,z) = 0 \end{cases}}[/math][br][br]No applet abaixo é possível observar o uso desse método para localizar máximos e\ou mínimos, representados em amarelo. O segmento em preto representa o vetor gradiente de [math]f[/math] e enquanto o vermelho representa o vetor normal a curva e é possível, através da movimentação do ponto [math]A[/math], observar uma relação entre esses dois vetores nos pontos críticos. [br]

Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função diferenciável no aberto [math]A\subseteq Dom\left(f\right)[/math], Seja [math]g[/math] e [math]h[/math] funções de classe [math]C^1[/math] em [math]A[/math] e seja [math]B=\text{\{ (x,y,z) \in A \mid g(x,y,z) = 0 \text{ e } h(x,y,z) = 0 \}}[/math]. Suponha que [math]\nabla g\left(x,y,z\right)\cdot\nabla h\left(x,y,z\right)\ne\vec{0}[/math] para todo [math]\left(x,y,z\right)\in B[/math]. Se [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)\in B[/math] é um ponto de máximo ou mínimo de [math]f[/math] em [math]B[/math], então existe [math]\lambda_1[/math] e [math]\lambda_2[/math] reais tais que [br][br] [math]\nabla f\left(x,y,z\right)=\lambda_1\nabla g\left(x,y,z\right)+\lambda_2\nabla h\left(x,y,z\right)[/math].[br][br]Desta forma, os candidatos a máximo ou mínimo de [math]f[/math] em [math]B[/math], são os pontos [math]\left(x,y,z\right)\in B[/math] que satisfazem o sistema abaixo para algum [math]\lambda_1\text{\text{ e } }\lambda_2[/math] reais[br][br] [math]\text{\begin{cases} \nabla f(x,y,z) = \lambda_1 \nabla g(x,y,z) + \lambda_2 \nabla h(x,y,z) \\ g(x,y,z) = 0 \\ h(x,y,z) = 0 \end{cases} }[/math][br][br]No applet abaixo é possível observar o uso desse método para localizar máximos e\ou mínimos, representados em amarelo. O segmento em preto representa o vetor gradiente de [math]f[/math], o vermelho representa o vetor normal a esfera, o verde é o vetor normal ao cilindro e é possível, através da movimentação do ponto [math]A[/math], observar uma relação entre esses três vetores nos pontos críticos. [br][br][color=#ff0000]Obs: Diferente dos outros applets, nesse não podemos manipular diretamente o ponto A(bolinha roxa) no gráfico 3D. Para tal é necessário utilizar a barra deslizante, que se encontra logo abaixo da definição do ponto A.[/color]

[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]