Representación geométrica en el Semiespacio de Poincaré de una geodésica y un Plano o un Punto (proio o impropio), cuyas matrices asociadas determinan una geodésica que puede ser secante o perpendicular al plano, o contener al punto, según el caso[br][list][*]Fundamentos: Modelo [i]sl[sub]2[/sub][/i]([b]C[/b]) del espacio hiperbólico ([i]sl[sub]2[/sub][/i]([b]C[/b]): matrices 2x2 de entradas complejas en la diagonal principal, un complejo y el opuesto de su conjugado, y números reales en la diagonal secundaria)[/*][*][size=85]Fuente: [color=#0000ff][url=http://e-spacio.uned.es/fez/eserv/tesisuned:Ciencias-Jgarcia/Documento.pdf]"Construcción de polígonos hiperbólicos y aplicación a las regiones fundamentales de grupos NEC"[/url] [/color][/size]([size=85]José Luis García Heras; Tesis, UNED 2006)[/size][/*][/list][list][*][size=85]También pude verse [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/E4HmRYgZ]Gometría hiperbólica elemental[/url][/color].[/size][/*][*][size=85]Más sobre Geometría hiperbólica: [url=https://www.maplesoft.com/applications/Author.aspx?mid=33596][color=#0000ff]Maplesoft (J.L. Gª Heras)[/color][/url][/size][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/ackq6fhp]Espacio Hiperbólico1[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/rwsxtu5m]Espacio Hiperbólico2[/url][/*][/list][size=85][i]Siendo X, Y matrices de [i]sl[sub]2[/sub][/i]([b]C[/b]) y determinante -1 ([i]A es un punto si [/i]det A= 1; [i]U es un punto impropio: [/i]det U = 0: P[i] es el vector normal a un plano hiperbólico si [/i]det P = -1):[br][/i][size=100][size=85][size=85]El [i]producto exterior[/i] X ∧ Y (normalizado) es una matriz de traza 0, asociada a la geodésica secante, la perpendicular común o un punto impropio, según que el producto escalar <X,Y>=-1/2 [b]tr[/b](X c(Y)) (c(Y) la matriz conjugada de Y) cumpla [/size][/size][/size]|<X,Y>| < 1, |<X,Y>| > 1 o |<X,Y>| = 1, Y entonces || es igual a cos θ,,±cosh δ (θ un ángulo, δ una distancia), siendo θ=0 o θ=π (δ=0), si |<X,Y>| = 1[/size]

Fundamentos:[br]Un plano hiperbólico y un punto pueden asociarse a una matriz 2x2, con determinante -1 y 1, respectivamente; y entradas reales en la diagonal secundaria (la diagonal principal está formada por un número complejo y el opuesto de su conjugado).[br]Una geodésica está determinada por la matriz --con traza cero-- del semigiro alrededor de la geodésica.