Es gibt verschiedene Verfahren, um ein Integral näherungsweise zu berechnen.[br][br]Diese numerische Berechnung ist manchmal notwendig, weil das Auffinden der Stammfunktion einerseits sehr aufwändig und kompliziert sein kann und es andererseits Funktionen gibt, für die keine Stammfunktion in geschlossener Form angegeben werden können (z. B. für [math] f(x) = e ^{-x ^{2}} [/math]).[br][br]In diesem Arbeitsblatt werden die [b]Untersumme, Mittelsumme, Obersumme,[/b] die [b]Trapezregel [/b]und die [b]Simpson-Näherung [/b]vorgestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]• Berechne mit den verschiedenen Näherungsverfahren das Integral von a = 1 bis b = 1,5 für n = 5 Unterteilungen.[br]• Blende abwechselnd die einzelnen Verfahren ein und vergleiche die ermittelten Ergebnisse.[br]• Erhöhe die Anzahl der Unterteilungen n mit dem Schieberegler.[br]• Berechne das Integral von a = 1 bis b = 2 von f(x) = sin(x).[br] Tipp: Du musst die Funktionsgleichung f(x) = sin(x) in der Eingabezeile eingeben.[br]• Welches Verfahren approximiert ein berechnende Integral in der Regel am besten?

[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]