幾何学的双対性

Bunryu Kamimura, Feb 14, 2019

円の極と極線は、双対（そうつい）的な関係にあります。 双対性とは幾何学の重要な概念です。 この双対性について、極と極線を通して探っていきましょう。 円の極と極線が、そのまま三角形の極と極線に結びつき、様々な現象を示します。 極線上の点の極線が不思議な現象を示します。 内接四角形と外接四角形の対称性もわかります。

Table of Contents

  1. 極と極線の双対性
    1. 直線から極を作る
    2. Ｂの極線は？
    3. 双対点と双対直線
    4. 円の極と極線の性質
    5. 反転(鏡映)と極と極線の関係
    6. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
    7. 共役な極と極線が作る四角形
    8. 楕円の極と極線
  2. 三角形の極と極線
    1. ジェルゴンヌの定理
    2. 外接三角形が一点で交わることの証明
    3. 三角形の極線が一直線上に並ぶことの証明
    4. 三角形の極と極線
    5. 基本の絵から
    6. 基本の図（楕円と極から）
    7. 内接楕円の作図の証明
  3. 極と極線から双対性へ
    1. 外接四角形と内接四角形
    2. 外接四角形の対角線の証明
    3. 外接内接四角形の性質
    4. 円の外接内接四角形の極線上の調和点列
    5. 極線でパスカル線を作図
    6. パスカルの定理とブリアンション点
    7. 幾何学的双対性のまとめ
    8. 作図の面白さ

1.

極と極線の双対性

円の極線とは、ある点(極)の接点を結んだ線です。 では、この極を円の中に入れたらどうなるのでしょうか？ 円の極と極線の間の関係を双対性と言います。 双対性とは、極と極線を入れ替えても成り立つという関係です。 そして、[b]極の極線、極線の極[/b]の関係がつかめれば、突然全てがつながってきます。 三角形も四角形も六角形も極線を通じて全てつながり、「なんだそういう事だったのか！」と。 実際に作図をしながら体得しましょう。

  • 1. 直線から極を作る
  • 2. Ｂの極線は？
  • 3. 双対点と双対直線
  • 4. 円の極と極線の性質
  • 5. 反転(鏡映)と極と極線の関係
  • 6. 内分外分からメネラウス・チェバの定理の証明へ
  • 7. 共役な極と極線が作る四角形
  • 8. 楕円の極と極線

1.1.

直線から極を作る

自由な直線（極線）の極を求める。（直線をつまんで直接動かすことができます）
双対性
直線から点を求めるというこの作図が示していることは、[br]極と極線が密接に関係していることを示しています。[br]極から極線ができ、[br]極線から極ができる。[br]特に言えることは、「接線は接点の極線」ということ。[br][br]でも、この単純なことから、複雑な現象が現れてきます。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.6.

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1.7.

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2.

三角形の極と極線

円に外接する三角形で、頂点と接点を結んだ線は一点で交わる。 この点を自由にできないだろうか？ 円にはならないけど、楕円で作ることができる。 こういう楕円と三線の交点でできる三角形をチェバ三角形と名づける。 ここから広がる世界を体験してみよう。 最後の結論は、 (1)「楕円に外接するチェバ三角形を作図することができ、この三角形の極線は楕円の極線と一致する」 (2)「逆に、三角形の極線によって内接する楕円を作図することができる」 (3)「三角形の極線は、内接楕円の極線と一致する」

  • 1. ジェルゴンヌの定理
  • 2. 外接三角形が一点で交わることの証明
  • 3. 三角形の極線が一直線上に並ぶことの証明
  • 4. 三角形の極と極線
  • 5. 基本の絵から
  • 6. 基本の図（楕円と極から）
  • 7. 内接楕円の作図の証明

2.1.

ジェルゴンヌの定理

三角形ABCの内接楕円が辺BC,AC,AB と接する点をそれぞれ X,Y,Z とする。AX,BY,CZ の3つの線の交点がジェルゴンヌ点となる。ジェルゴンヌ点を極とする円Bについての極線を作図してみよう。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.6.

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2.7.

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3.

極と極線から双対性へ

三角形の極はどこにあってもよく、対の極線を作る。 では、四角形の場合はどうだろうか。 まず、この四角形は円に外接しなければならない。 外接する四角形の極は、４点が一直線に並び、極線を作る。 ただし、この極は自由には取れない。 では、外接する六角形の場合はどうだろうか？ 　

  • 1. 外接四角形と内接四角形
  • 2. 外接四角形の対角線の証明
  • 3. 外接内接四角形の性質
  • 4. 円の外接内接四角形の極線上の調和点列
  • 5. 極線でパスカル線を作図
  • 6. パスカルの定理とブリアンション点
  • 7. 幾何学的双対性のまとめ
  • 8. 作図の面白さ

3.1.

外接四角形と内接四角形

外接四角形の極線で内接四角形ができる。この二つの図はいろいろなことを指し示す。作図して試してみよう。
「対角の和が等しいこと」と「対辺の和が等しいこと」の証明
「対角の和が等しいこと」[br]∠HGJ＋∠HIJ＝３６０°ー４種の底角[br]∠GHI＋∠GJI＝３６０°ー４種の底角[br]よって同じ。[br][br]「対辺の和が等しいこと」[br]AB+CD＝４種の接線[br]AD+BC＝４種の接線[br]よって同じ。[br][br]見事な双対性を示している。[br]内接四角形と外接四角形を別々に示して向かい合う辺と角度の関係を示した時、[br]長さと角度の違いだけど何か関係がありそうだと感じる。[br]でも、円周角の定理などで証明した時、この二つの四角形の間の関係はわからない。[br]こうやって並べてみると、二等辺三角形が浮かび上がり、そのつながりも同時に浮かび上がってくる。[br]
この向かい合う４組の辺の４交点は、なんと一直線上にある。
このことを極線を使って証明してみよう。[br]接線と極線の性質を使えば簡単。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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