En la siguiente gráfica vamos a usar la noción de límite para determinar la pendiente de la recta tangente a la curva de [math]f\left(x\right)[/math] en el punto [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math][br][br]Sobre la curva de [math]f\left(x\right)[/math] se ubica un punto móvil Q cuya abscisa es [math]x_0+h[/math] y evidentemente su ordenada es [math]f\left(x_0+h\right)[/math], entonces la recta secante que pasa por los puntos P y Q tiene una pendiente que se puede calcular como:[br][math]m=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] [math]...\left(i\right)[/math][br]y cuando h tienda a cero, entonces dicha recta será tangente a la curva en P con una pendiente:[br] [math]m=lim_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] [math]...\left(ii\right)[/math][br][br]En la siguiente animación puede usar el deslizador h para ver como aproximando el punto Q hacia P, es decir, haciendo que h tienda a cero se obtiene la recta tangente cuya pendiente es la expresión [math]\left(ii\right)[/math]

Mediante lo señalado podemos calcular ahora la pendiente de la recta tangente a la curva de [math]f\left(x\right)=x^5[/math] mediante la relación [math]\left(ii\right)[/math][br]Entonces, siendo [math]f\left(x\right)=x^5[/math] la pendiente de su recta tangente se calcula así:[br][br][math]m=lim_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{\left(x+h\right)^5-x^5}{h}[/math] desarrollamos el binomio[br][br][math]m=lim_{h\longrightarrow0}\frac{x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5-x^5}{h}[/math] simplificamos los términos[br][br][math]m=lim_{h\longrightarrow0}\left(5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4\right)[/math] evaluamos el límite[br][br][math]m=5x^4[/math] es la pendiente de la recta tangente a [math]f\left(x\right)=x^5[/math][br][br]Entonces ya podemos calcular la pendiente de la recta tangente a [math]f\left(x\right)[/math] en:[br][br][math]x=-1[/math], [math]m=5\left(-1\right)^4=5[/math][br][math]x=0[/math], [math]m=5\left(0\right)^4=0[/math][br][math]x=1[/math], [math]m=5\left(1\right)^4=5[/math][br][math]x=2[/math], [math]m=5\left(2\right)^4=80[/math][br][br]En la siguiente gráfica puede ver estos resultados