Du hast bereits gelernt, wie du den Differentialquotient [math]f'\left(x_0\right)[/math] einer Funktion [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] annähernd bestimmen kannst, wenn sie an dieser Stelle differenzierbar ist. Ist eine Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich differenzierbar, kann jeder Stelle [math]x[/math] die entsprechende Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] zugeordnet werden, um eine Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] zu erhalten.[br]Die Ableitungsfunktion wird kurz auch einfach Ableitung genannt. Man muss sich aber dem Unterschied zwischen einer Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt (dem Differentialquotienten) und der allgemeinen Ableitung (der Ableitungsfunktion) einer Funktion bewusst sein.[br][br][b]Aufgabe 6.1.1:[br][/b]Hinweis: Klicke erst in Aufgabe b) auf den Button "Spur". Du kannst die Ausgangssituation jederzeit mit Klick auf die Pfeile oben rechts herstellen.[br]a) Bewege im folgenden Applet den Punkt [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] am Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math] entlang. Es wird automatisch auch der Punkt [math]P'\left(x_0,f'\left(x_0\right)\right)[/math] eingezeichnet. Beschreibe in deinem Heft, wie sich [math]P'[/math] in Abhängigkeit von [math]P[/math] verändert. Beschreibe insbesondere, wie die Steigung in [math]P[/math] mit dem y-Wert von [math]P'[/math] zusammenhängt.[br]b) Klicke nun auf Spur, damit [math]P'[/math] bei der Bewegung eine Spur hinterlässt. Die angezeigte Spur entspricht der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math].[br]Die Ableitungsfunktion ist in diesem Fall linear. Bestimme daher die Steigung m der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] sowie den y-Achsenabschnitt n und stelle die Funktionsgleichung [math]f'\left(x\right)=m\cdot x+n[/math] auf.

[b]Aufgabe 6.1.2:[br][/b]Bewege im folgenden Applet den Punkt [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] am Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=x^3[/math] entlang. Der Punkt [math]P'\left(x_0,f'\left(x_0\right)\right)[/math] hinterlässt automatisch eine Spur, die der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x_0\right)[/math] entspricht.[br]Beobachte [math]P'[/math] und die entstehende Spur und stelle eine Vermutung auf wie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] lautet.

[b]Aufgabe 6.1.3:[br][/b]a) Verändere die Variable n per Schieberegler und beobachte, wie sich [math]f\left(x\right)[/math] und die Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] verändern. Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.[br]b) Verändere nun die Variable m per Schieberegler und beobachte erneut, wie sich [math]f\left(x\right)[/math] und die Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] verändern. Schreibe deine Beobachtungen in dein Heft.[br]c) Verändere nun abwechselnd m und n und beobachte, wie sich [math]f\left(x\right)[/math] und die Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math] verändern. Schreibe in dein Heft, wie die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion allgemein in Abhängigkeit von m und n berechnet werden kann.

[b][size=200]Lösungen:[/size][/b]