[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/b][/size][size=150][size=100][br]複素関数の微分では、[br]ｚ平面でｚ＝bをｚ＝aに近づくとき、無数の近づき方があるので、[b][color=#0000ff]微分できる保証はなかった。[br][/color][/b]でも、微分できる保証をしてくれる便利な道具が[b]CRE（コーシー・リーマン方程式）[/b]だったね。[br]複素関数の積分でも経路が大切だ。[br]ｚ平面でｚ＝aからｚ＝bに変化させるにはいろんな経路がある。[br]経路を変えても積分値が変わらないときは、[b]単純な経路に置き換える[/b]ことが重要になる。[br]そこのところをくわしく見ていこう。[br][br][/size][b]＜経路積分（線積分）＞[br][/b][/size]・積分は線形な操作だから、ｋ倍の積分は積分のｋ倍、和差の積分は積分の和差になる。[br]　また、[b][color=#9900ff]分割できる経路での積分は分割した経路での積分の和[/color][/b]になる。[br]　言い換えると、経路を逆向きにした積分は、もとの経路の積分と符号が逆で大きさが同じになる。[br]・z=x+i yがパラメータtの関数なら、[b]dz= dx + i dy＝[/b][math]\frac{dz}{dt}[/math][b] dtとパラメータ変換[/b]できるね。[br]　ｚの関数f(z) の曲線C：z=z(t)　a≦ｔ≦bでの[b][color=#0000ff]経路積分は、[/color][/b]∫[sub]C[/sub]f(z) dz=∫[sub]a[/sub][sup]b[/sup] f(z(t)) [math]\frac{dz}{dt}[/math] dt[br]・正則関数の定積分　[br]　領域D内で[b]正則な関数f(x)[/b]に対してF'(x)=f(x)となる[b]正則な不定積分F(x)[/b]があれば[br]　[b]経路がちがっても、端点だけで積分値は等しくなる。[br][/b]　これを定積分といい、∫[sub]a[/sub][sup]b [/sup]f(z)dz=[F(z)][sub]a[/sub][sup]b [/sup]=F(b)-F(a)と、実関数での積分と同様の計算ができる。[br]・正則でない関数の定積分[br]　実際ｚの共役複素数ｚ*は、正則な関数ではない。[br]　w=f(x+yi)=x-yiはU=x, V=-y。Ux=1=-Vy, Uy=0=Vxだから、CRE（Ux=Vy, Uy=-Vx)から正則ではないね。[br]　正則でない定積分は経路によって値が変わる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]平面でｚ＝０からｚ＝1+iに変化させるにはいろんな経路がある。[br]zの共役複素数ｚ*を積分するのに、２つの経路C1, C2+C3で値を調べてみよう。[br]C1：ｚ＝ (1+i) t ( 0≦ｔ≦1) は（０，０）と（１，１）を結ぶ線分 dz=(dz/dt) dt= (1+i) dt[br]C2：ｚ＝ t ( 0≦ｔ≦1) は（０，０）と（１，0）を結ぶ線分 dz=(dz/dt) dt= 1 dt[br]C3：ｚ＝ 1+i t ( 0≦ｔ≦1) は（1，0）と（１，1）を結ぶ線分 dz=(dz/dt) dt= i dt[br]∫[sub]C1 [/sub]z dz= ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] [(1+i) t]* (1+i) dt =∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] (1-i) t (1+i) dt = ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] 2t dt=[t[sup]2[/sup]] [sub]0[/sub][sup]1[/sup] =[b]1[/b][br]∫[sub]C1+C2[/sub] z dz= ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] [ t]* 1 dt+ ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] [1+i t]* i dt = ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] t dt+ ∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] [1-i t] i dt [br]=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] t dt[sup][/sup]+∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] (i+t) dt=∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] 2t dt[sup][/sup]+∫[sub]0[/sub][sup]1[/sup] i dt=[t[sup]2[/sup]] [sub]0[/sub][sup]1[/sup] +i [t] [sub]0[/sub][sup]1[/sup] = [b]1+i [/b][br]やはり、始点と終点が同じでも経路がちがうので線積分はちがうね。

複雑なものがあれば分解、合成、変形で単純化するというのは数学でよくやる手だ。[br]複素関数の積分でもそれができたらいいね。[br][br][size=150][b]＜[/b][b]コーシーの積分定理（正則関数の周回積分＝０）＞[br][/b][/size][b][size=150][color=#0000ff]ｚの関数f(z)＝U(x,y) + i V(x,y) を周回積分する。[br]曲線C：z=z(t)が閉曲線で、f(z)がC内部領域で正則な関数ならば、周回積分＝０[br][/color][/size]理由は、ストークスの定理とCRE（コーシー・リーマンの方程式）Ux=Vy and Uy=-Vx[/b]から[br][br]∫[sub]C[/sub]f(z) dz[br]=∫[sub]C[/sub](U+i V)(dx+i dy)[br]=∫[sub]C[/sub](U dx -V dy)＋i ∫[sub]C[/sub](V dx +U dy)[br]=∫[sub]S[/sub]((-V)x -Uy)dxdy＋i ∫[sub]S[/sub](Ux -Vy)dxdy　（ストークスの定理から）[br]=-∫[sub]S[/sub](Vx +Uy)dxdy＋i ∫[sub]S[/sub](Ux -Vy)dxdy [br]＝０　（CREから)[br][br]周回積分＝０という結果は拍子抜けする結果だね。[br]でも、積分の線形性と積分の区分独立性とストークスの定理という中抜きの定理からすれば、[br]線分上の動きを中抜きすれば、スタートとゴールが同じ点で無変動。つまりｚ＝０の複素数になる。[br]そう考えれば納得がいくでしょう。[br][br]場合によっては、自分と交わらない閉曲線のことを[b]単一閉曲線[/b]という、略して[b][color=#0000ff]単閉[/color][/b]としよう。単閉を回るときは原則左回り、偏角が増加する向きとしよう。また、回転は1回転を基本とする。[br]だから、断りがないとき曲線Cと言えば、単閉で、左回りに1回転するものとして、記述を単純にする。[br]Cの中心が原点出ない点aとする円のときは、Caなどとかくことにする。[br]曲線Cとその[b]内部領域(Domain)[/b]のことを[b][color=#0000ff]CD[/color][/b]とかこう。[br][br][size=150]nがすべての整数(ー∞から＋∞まで)のときに成り立つ、[br]「[b]複素解析の基本定理[/b]」が次です。[br]円[b]Ca：|z-a|=rにそった周回積分[/b]は、[br][b]1/(z-a)の積分＝2πi、[br]1/(z-a)[sup]n[/sup]の積分=0[/b]。[br]つまり[size=200][color=#0000ff]∫[sub]C [/sub]1/(z-a)^n dz=[b]2πi[/b]δn1[/color][/size]です。[br][/size][color=#0000ff]（理由）[br][/color]Caの点ｚ＝a+re[sup]iθ[/sup](0≦θ≦2π)だから、[br]1/(z-a)=1/re[sup]iθ[/sup]＝r[sup]-1[/sup] e[sup]-iθ[/sup]とパラメータ化できる。[br]dz=(dz/dθ)dθ=ire[sup]iθ [/sup]dθ　dzもパラメータ変化できる。これから、線積分を求めよう。[br]∫[sub]C[/sub] [b]1/(z-a) dz[/b]=∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] (1/re[sup]iθ[/sup] [sup] [/sup]i*re[sup]iθ [/sup])dθ = ∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup][b] i[sup] [/sup]dθ[/b]=[b]i[θ] [sub]0[/sub][sup]2π[/sup][/b] =[b]2πi[/b][br]∫[sub]C[/sub] [b]1/(z-a)[sup]n[/sup] dz[/b]=∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] r[sup]-n[/sup] e[sup]-inθ [/sup]i r e[sup]iθ [/sup]dθ = ir[sup]1-n[/sup] ∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] [b]e[sup]i(1-n)θ[/sup][/b][sup] [/sup]dθ=ir[sup]1-n[/sup] [1/i(1-n) [b]e[sup]i(1-n)θ[/sup][/b]] [sub]0[/sub][sup]2π[/sup] =[b]0[/b][br][size=150][color=#0000ff]みかけは似ているが、n=1のときだけz＝aの穴を含むことで周回した結果が大嵐になる。[br]nが１でないと逆数にした[b](z-a)[sup]n[/sup][/b]と同じく正則関数の結果になっている。[br]このn=1のときだけ大嵐というイメージはあとにつながる大切なものです。[br]（例）[br][/color][size=100]ただし、同じ関数でも経路をずらしてあげれば、周囲も領域も穴にぶつからないようにすれば、[br]正則関数と同じ無風となる。[br]べき関数(z-a)[sup]n[/sup]はｚ平面全体で正則なので、単閉C１Dでも正則なので、∫[sub]C1[/sub](z-a)[sup]n[/sup] dz=0[br]f(z)=1/(z-a)[sup]n[/sup]はaでは正則にならないが、点aが単閉C2Dの外なら単閉C2Dでfは正則だから∫[sub]C2[/sub]f(z) dz=0[br][/size][b][br]＜積分を単純化しよう＞[/b][/size][br]・系１[br]領域Dに正則関数f(z)がある。[br]Dの内部に単閉C1Dがあり、その中に単閉C2Dがあるとしよう。[br]C１、C２周回で、[b]∫[sub]C1[/sub]f(z) dz＝ ∫[sub]C2[/sub]f(z) dz　[br][/b]C1を1周から、内部でC2に連結ABして、C2を右1周し連結線BAと一筆書きする。[br]つまり、C1+AB＋(-C2)+BAができる。コーシーの定理から、[br]∫[sub]C1+AB＋(-C2)+BA [/sub] f(z) dz=0 [br]積分の線形性と逆順路の積分和が０だから、[br]∫[sub]C1[/sub]f(z) dz- ∫[sub]C2[/sub]f(z) dz=0 となるから。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]円Ca：|z-a|=r（反時計回り）にそった[b]1/(z-a)の積分＝2πi、1/(z-a)[sup]n[/sup]の積分=0[/b]。[br]だから、円Caを含む単閉C2Dでの積分値もそれぞれ、[b]2πi、0になる。[/b][br][br]・系２[br]領域Dに正則関数f(z)がある。[br]Dの内部に単閉C1Dがあり、その中に互いに素な単閉C2D、C3D、…...、CｋDがあるとしよう。[br]C1からCkまで周回積分するとき、[b]∫[/b][sub]C1[/sub][b]f(z) dz＝ ∫[/b][sub]C2[/sub][b]f(z) dz+∫[/b][sub]C3[/sub][b]f(z) dz+........+∫[sub]Cｋ[/sub]f(z) dz[/b][br]C1を1周して、内部でC2,C3,...を順に右回りで半周して、最後のCkを右1周し、[br]帰り道を…C3、C2,C1ともとにもどる橋渡しの一筆書きができる。[br]積分の線形性と逆順路の積分和が０だからそうなるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]円Ci：|z-i|=1/2の周回なら、[b]1/(z-i)の積分＝2πi、1/(z+i)の積分はCiで正則だから=0[/b]。[br]円C-i：|z+i|=1/2の周回なら、[b]1/(z+i)の積分＝2πi、1/(z-i)の積分はC-iで正則だから=0[/b]。[br]円C0：|z|=2でのf(z)=z/(z[sup]2[/sup]+1)=1/2[1/(z-i)+1/(z+i)]の周回積分を考える。[br]積分路C0にそったf(z)の積分はコーシーの系から積分路CiとC-iで和分解できる。[br]Ciにそった f(z)の積分値は1/2[2πi+0]=πi、[br]C-iにそった f(z)の積分値は1/2[0+2πi]=πi。[br]だから合計2πiだね。[br]大きな円が分母の穴を２つともつつんでしまっているから嵐は消えない!

[b][size=150]＜積分表示＞[/size][/b][br]領域Dに正則関数f(z)/(z-a)がある。[br]Dの内部に単閉CDがあり、その中に単閉CaDがあるとしよう。[br]点aはCaDにあり、Caは|z-a|=rの反時計回りの円周だとする。[br][br][b]コーシーの定理の系１[/b]から、[br]CDにおけるf(z)/(z-a)の周回積分＝CaDにおけるf(z)/(z-a)の周回積分となるね。[br]Ca上のz=a+re[sup]iθ[/sup]について、dz=dz/dθ dθ= ir e[sup]iθ[/sup]dθから1/(z-a)=1/re[sup]iθ[/sup]だから、[br]1/(z-a)dz = 1/re[sup]iθ[/sup] ir e[sup]iθ [/sup]dθ＝ i dθとなる。[br]だから、[b]ｒ→０[/b]の極限は[br][br][b][size=150]∫[sub]C [/sub]f(z)/(z-a) dz=∫[sub]Ca [/sub]f(z)/(z-a) dz[/size][/b]=∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] f(a + re[sup]iθ[/sup]) [b]i dθ[/b][br]→∫[sub]0[/sub][sup]2π[/sup] [b] f(a) i[/b] dθ＝[b]f(a)[/b] i[ θ] [sub]0[/sub][sup]2π [/sup] =[b]f(a)[/b] 2πi =2πi [b]f(a)[/b][br]つまり、[br][br][b]∫[sub]C [math]\frac{f\left(z\right)}{z-a}[/math] dz[size=150]＝[color=#0000ff]2πi f(a)[/color][/size][/sub][/b][br][br]嵐(2πi)と無風0の2択だったのが、f(a)つきが登場した。[br]台風の目はない。[br]1/(z-a)の積分のときの嵐の高さ１が、f(z)/(z-a)の嵐では高さf(a)に増幅されているね。[br]分母の計算は1/(z-a)と同じだから、2πiができて、1がf(z)=f(a+re^iθ)→f(a)になっただけとも言える。[br]aを中心に半径を小さくしても穴は残るから、正則にはならず2πif(a)と、穴z=aでの値f(a)倍になった。[br][br]これって、[br][size=150][color=#0000ff]f(a)=1/2πi ∫[sub]C [/sub][math]\frac{f\left(z\right)}{z-a}[/math] dz[/color][/size][br]と書き換えることができる。[br]f(z)のz=aでの値はfをaの穴のある分母で割った周回積分を2πiで割った値と等しい。[br]ということは、穴を動かしていくと、f(a)が動いてf(z)となるね。[br][br]aをｚとして動かすために、zをζとしてからaをｚを置き換える。[br][size=150][color=#0000ff][b]f(z)[/b]=[/color][b][color=#0000ff]1/[/color][color=#0000ff]2πi ∫[sub]C [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}[/math] dζ （コーシー積分公式）[/color][/b][/size][br]つまり、正則関数f(z)をｚが穴にあたる形式の積分の形に置き換えることができる。[br][br]・これを微分してみる。[br]df(z)/dz=1/[size=150]2πi [d ∫[sub]C [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}[/math] dζ/dz]=1/[size=150]2πi ∫[sub]C d/dz[/sub][math]\frac{1}{\zeta-z}[/math] f(ζ)dζ =1/[size=150]2πi ∫[sub]C [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^2}[/math] dζ[br][/size][/size][/size][br]f’’(z)=1/[size=150]2πi ∫[sub]C d/dz [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^2}[/math] dζ=2*1/[size=150]2πi [size=150] ∫[sub]C [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^3}[/math] dζ[br][/size][/size][/size]f’’’(z)=21/[size=150]2πi ∫[sub]C d/dz [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^3}[/math] dζ=3*2 1/[size=150]2πi [size=150] ∫[sub]C [/sub][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^4}[/math] dζ[br]........................[br][b][color=#0000ff]f[sup](n)[/sup](z)=n!* 1/[/color][/b][size=150][b][color=#0000ff]2πi [/color][/b][size=150][b][color=#0000ff] ∫[sub]C[/sub] [/color][/b][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{n+1}}[/math][color=#0000ff] dζ （グルサー公式）[br][size=150][size=150][color=#0000ff][br]なんと、正則関数f(z)のn回微分を積分形式に置き換えることができたね。[br]そのとき、ｚの穴部分の分母が微分のたびに位数があがりn+1位となり、[br]ｎの階乗を前にかけている形になった。[br][br]言い換えると、正則関数をｚの穴の式のn+1乗で割った周回積分はｆ(z)のｎ階微分/n!が[br]嵐の高さとなる。[br][br][/color][/size][/size][size=200][size=150][size=150][color=#0000ff][b]∫[sub]C[/sub] [/b][/color][math]\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{n+1}}[/math][color=#0000ff][b] dζ=2πi f[sup](n)[/sup](z)/n! [/b][/color][/size][/size][br][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/size][br]そして、正則な関数は何回でも微分できることもわかったね。

[color=#0000ff]コーシーの積分表示とグルサー公式を使ってみよう。[br]（例）[/color][br]円C：|z|=4で単閉CDで正則関数f(z)を周回積分しよう。[br]f(z)=z[sup]3[/sup],とすると、∫[sub]C[/sub] z[sup]3[/sup]/(z-i)dz= ∫[sub]C [/sub]f(z)/(z-i)= 2πi * i[sup]3[/sup]= 2π[br]f(z)=coszとすると、∫[sub]C[/sub] cosz/(z-π)dz= ∫[sub]C [/sub]f(z)/(z-π)= 2πi * cos(π)= -2πi[br]f(z)=z/(z-5)とすると、∫[sub]C[/sub] z/(z-5)(z+2)dz= ∫[sub]C [/sub]f(z)/(z+2)= 2πi * f(-2)=2πi * (-2)/(-7) = 4/7 *πi[br]f(z)=3z[sup]2[/sup]とすると、∫[sub]C[/sub] 3z[sup]2[/sup]/(z-i)[sup]3[/sup]dz= ∫[sub]C [/sub]f(z)/(z-i)[sup]3[/sup]= 2πi * f[sup](2)[/sup](i)/2!= 2πi * 6/2=6πi[br][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]円C：|z|=1で単閉CDで正則関数f(z)を周回積分しよう。[br]f(z)=sinzとすると、∫[sub]C[/sub] sinz/z[sup]2[/sup]dz= ∫[sub]C [/sub]f(z)/(z-0)[sup]2[/sup]= 2πi * f(0)'= 2πi*cos(0) =2πi[br]f(z)=1/8z[sup]3[/sup]とすると、∫[sub]C[/sub] z[sup]3[/sup]/(2z -1)[sup]3[/sup]dz=∫[sub]C[/sub] 1/8 z[sup]3[/sup]/(z -1/2)[sup]3[/sup]dz= 2πi * f[sup](2)[/sup](1/2)/2!= 2πi * 3/4(1/2)/2=3/8 *πi[br]