
Pitagora, l'Uomo che Vedeva Numeri Ovunque

[b][size=150][size=200][i]Il Teorema di Pitagora[/i][/size][/size][/b][br][br]Nel 530 a.C., [b]Pitagora[/b] fonda a Crotone la scuola a lui intitolata.[br][br]Si presentava come una setta mistica e religiosa, che poneva al centro del suo pensiero il numero, che non rappresentava solo l'espressione di una quantità, ma costituiva "[i]l'elemento dell'Universo[/i]". Tutta la realtà fisica si fondava, infatti, sui [b]numeri naturali[/b] e sul loro rapporto; questi numeri erano considerati i soli in grado di legare grandezze geometriche e misure. [br]Per i pitagorici, quindi, ogni misura si poteva esprimere solo con un numero naturale o con il rapporto tra due numeri naturali, cioè un [b]numero razionale.[/b] [br][br]Intorno al 500 a.C., Pitagora enunciò il suo omonimo teorema:[i][quote]In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.[/quote][/i]

[b][i][size=200]Dimostrazione del Teorema di Pitagora[br][br][/size][/i][/b][size=100][size=150]Consideriamo un qualsiasi triangolo ABC:[/size][/size]

Costruiamo quattro triangoli uguali ad ABC e disponiamoli in modo da ottenere i quadrati CGHI e ADFB disposti come nella figura seguente:

Notiamo che:[br][list][*]ADFB è il quadrato costruito sull'ipotenusa AB del triangolo ABC;[/*][*]il lato del quadrato CGHI è uguale alla somma dei cateti AC e CB del triangolo ABC;[/*][*]l'area dei quattro triangoli uguali ad ABC misura 2*AC*BC;[/*][*]l'area del quadrato di lato AB addizionata all'area dei quattro triangoli uguali ad ABC dà l'area del quadrato di lato CI=BC+AC.[/*][/list][br]Possiamo quindi scrivere che:[br]AB[math]^2[/math]+2*BC*AC=(BC+AC)[math]^{2^{ }}[/math][br][br]Svolgendo i calcoli otteniamo:[br]AB[math]^{ }^{ }^2[/math]+2BC*AC=BC[math]^2[/math]+AC[math]^2[/math]+2BC*AC[br][br]E quindi:[br]AB[math]^2[/math]=BC[math]^2[/math]+AC[math]^2[/math]

Introduzione
Si sente spesso parlare di trasformazioni isometriche, soprattutto in ambiente scolastico. Ma vi siete mai chiesti se queste trasformazioni si possano trovare in contesti della realtà quotidiana? [br]Nella nostra vita ci capita spesso di vedere esempi d'isometrie, che ai nostri occhi sono nascoste in oggetti di tutti i giorni.[br]Le trasformazioni isometriche si possono osservare in natura, nei frutti e anche negli animali.[br]Avete mai notato la simmetria delle ali di una farfalla rispetto al suo corpo? Oppure i petali di un fiore? [br]Soffermiamoci ad analizzarle nelle foto successive...[br]

La Statistica

La Statistica
La statistica è una branca della matematica che studia l'aspetto quantitativo e qualitativo di un dato fenomeno in condizioni di indeterminatezza o incertezza.[br]La ritroviamo nel metodo scientifico per apprendere le maniere in cui un evento può essere sintetizzato e compreso, attraverso la raccolta e l'analisi di dati e informazioni. [br]La parola "statistica" deriva dal vocabolo "stato" e si riferisce alla constatazione per cui i primi dati riguardo a eventi reali erano raccolti e organizzati dagli organismi statali.[br]Qualcun'altro pensa che derivi da "status", per indicare che esamina la situazione contingente della realtà, altri ancora che derivi da "stadt" (città in tedesco) o da "statera" (bilancia in latino), ma quest'ultime non hanno riscontri storici obiettivi se paragonati all'uso della parola come "raccolta di dati da parte dello stato".[br]Qualcuno ritiene Quetelet il fondatore della statistica, in quanto prima di egli veniva usata in campi singoli e separati, e l'interesse per il fenomeno studiato aveva sempre predominato su quello per il mezzo con il quale veniva studiato.[br]Viene usata per la prima volta da Girolamo Ghilini, il quale, tra il 1666 e il 1668, pubblica e stampa "Il Ristretto della civile, politica, statistica e militare scienza."[br]Alcuni studiosi di statistica sono stati i seguenti:[br]- John Graunt (1603-1661);[br]- Fedele Lampertico (1833-1906);[br]- Corrado Gini (1884-1965); [br]- Luigi Bodio (1840-1920); [br]- Jerzy Neyman (1894-1981);[br][br]
John Graunt (1603-1661)

[b][i][br][size=150]Con la scorta dei registri dei nati e dei morti di Londra ricerca un pattern nelle cause di morte, nei rapporti dei sessi nelle nascite, nella fecondità dei matrimoni, nella mortalità distinta secondo le età e, infine, nel periodo di raddoppiamento di una popolazione[/size][/i][/b]
Fedele Lampertico (1833-1906)

[br][b][i][size=150]Lasciò alla sua morte moltissimi scritti, tra cui "G. M. Ortes e la scienza economica del suo tempo", "Sulla statistica teorica in generale e su M. Gioja in particolare"[/size][/i][/b]
Corrado Gini (1884-1965)

[br][i][b][size=150]Fondatore e preside della facoltà di scienze statistiche, demografiche e attuariali, presidente dell'Istituto centrale di statistica[/size][/b][/i]
Luigi Bodio (1840-1920)

[br][b][i][size=150]Statistico italiano, presidente dell'istituto internazionale di statistica, primo capo della direzione generale di statistica[/size][/i][/b]
Jerzy Neyman (1894-1981)

[br][i][b][size=150]Insegnante di statistica a Charkov, direttore del laboratorio di statistica della California, apportò notevoli contributi a diversi problemi di metodologia statistica[/size][/b][/i]
Storia della probabilità
[b]Di Francesco Parente, Alice Capuozzolo, Marie Lys Foco, Giulia De Santis, Giorgia Ferrasti[/b]

[size=100][br]Il concetto di probabilità sembra del tutto ignoto agli antichi, malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamenti in cui esso è implicitamente presente; ad esempio, già 3000 anni fa gli Egizi praticavano un antenato del gioco dei dadi, che si svolgeva lanciando una pietra. Il gioco dei dadi era diffuso anche nell’antica Roma, tanto che sono stati ritrovati alcuni studi su tale gioco risalenti all’età di Cicerone.[br]La teoria della probabilità nasce dagli studi riguardanti la soluzione di alcuni problemi sorti nei vari giochi d’azzardo, quali ad esempio il gioco dei dadi. I nobili, infatti, facendo di queste attività uno dei propri passatempi preferiti, affidavano ai vari studiosi del tempo il compito di risolvere i loro quesiti a tal proposito.[br]Questo è il motivo che spinge Galileo Galilei a scrivere il libro Sopra le scoperte dei dadi del 1596 nel quale, su richiesta del Granduca di Toscana, calcola la probabilità che la somma delle facce di 3 dadi sia uguale ad un certo numero k.[br]Più tardi il Cavaliere di Méré, famoso giocatore d’azzardo, porrà a Blaise Pascal i seguenti 2 problemi:[br]-è più probabile almeno un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando 24 volte 2 dadi? [br]-se 2 giocatori ugualmente bravi interrompono un gioco in cui vince per primo chi totalizza un certo punteggio, senza averlo raggiunto, come si divide il premio?[list][/list]Pascal cerca il consiglio di Fermat e dalla loro corrispondenza nascono le prime leggi della probabilità e il calcolo combinatorio.[br][br]Uno dei primi trattati di calcolo delle probabilità risale a J. Bernoulli con la "Legge dei grandi numeri", ma la prima impostazione sistematica della concezione classica, è opera di P. S. Laplace che nel 1812 diede la prima definizione di probabilità classica: "[i]Si definisce probabilità matematica il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili[/i]" P(E) = f/n.[br][br]1654 - Pascal pubblica nel il Traité du Triangle Arithmétique che parla del Triangolo di Tartaglia; tornano alla ribalta i coefficienti binomiali (già studiati precedentemente da Stifel), indispensabili per risolvere anche i più banali problemi di probabilità.[br][br]1657 - Huygens pubblica il De ratiociniis in ludo alae e nel 1666 Leibniz la sua Dissertatio de arte combinatorica.[br][br]1708 – esce l’Essai d’Analyse sur le jeux de hazards ad opera di Montmort [br][br]1713 – Bernoulli pubbilca Ars conjectandi, nel quale viene enunciata anche La legge dei grandi numeri.[br][br]1718 - De Moivre nella sua opera Doctrine of Chances risolve il problema centrale della teoria della probabilità ed usa e dimostra la Formula di Stirling.[br][br]1763 - escono dei lavori di Bayes sulla concetto di Probabilità condizionata e alcune formule inerenti ad essa, tra le quali la più importante prende proprio il suo nome.[br][br]Poi più tardi inizieranno a nascere legami sempre più forti tra il calcolo delle probabilità e le altre materie scientifiche.[br][br]1809 - durante il suo studio degli errori di osservazione in astronomia, Gauss ritrova la curva che poi in futuro prenderà il suo nome.[br][br]Laplace nel frattempo dimostra il teorema centrale per p generico.[br][br]1828 - vengono scoperti i moti Browniani, cioè i moti continui delle particelle, concetto che sfuggiva ad ogni legge fisica fino a quel momento studiata.[br][br]1867 - Chebischev scopre la prima diseguaglianza fondamentale della probabilità.[br][br]1905 - si celebra l’inizio dell’unione della probabilità con la fisica: Einstein spiega i moti Browniani utilizzando le leggi della probabilità.[br][br]1910 - Rutheford, Bateman e Geiger scoprono che il numero di particelle emesse da una sostanza radioattiva è una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson.[br][br]1933 - Kolmogorov dato inizio alla moderna teoria assiomatica ispirandosi alla teoria della misura. Si è così affermata una teoria della probabilità puramente matematica, che generalizza il patrimonio matematico comune alle diverse impostazioni.[br][br]Nonostante la sua storia fitta di eventi, gli studi sulla probabilità vengono assiomatizzati solo intorno agli anni venti e trenta del 1900 fino diventando così una vera e propria teoria matematica.[br][br]Il concetto di probabilità è diventato con il passare del tempo la base di diverse discipline scientifiche rimanendo tuttavia non univoco. In particolare su di esso si basa una branca della statistica (la statistica interferenziale) cui fanno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali.[br][br]Nata "quasi per gioco", questa nuova scienza, grazie anche ad ulteriori scoperte, troverà negli anni futuri sempre più iterazioni con altre discipline, quali ad esempio l’informatica e la statistica.[br][br]Sempre nell‛Ottocento, con sviluppo nel Novecento con il matematico Finetti, sorge una nuova concezione, la soggettiva, che valuta la probabilità di un evento in base al grado di fiducia che un individuo attribuisce, secondo le sue informazioni, al verificarsi di un evento. Questa concezione può essere applicata a qualunque evento tanto che le decisioni, di maggiore o minore importanza, che prendiamo ogni giorno, sono fondate su valutazioni soggettive di probabilità (a livello conscio o inconscio)[/size].[br][size=150][br]«Nella misura in cui le leggi della [br]matematica si riferiscono alla realtà, [br]esse non sono certe; e nella misura[br]in cui sono certe, esse non si [br]riferiscono alla realtà.» [br][b]ALBERT EINSTEIN-1922[/b][br][/size][br][br][br][br]
Pierre de Fermat (1601-1665)

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Blaise Pascal (1623-1662)

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Jakob Bernoulli (1655 - 1705)

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Bruno de Finetti (1906-1985)

[br][br]“È facile capire che la probabilità che qualcuno attribuisce alla verità- o al verificarsi- di un certo evento (fatto singolo o univocamente descritto e precisato) altro non è che la misura del grado di fiducia del suo verificarsi.”[br][br]Cit. De Finetti[br][br]
Introduzione
Prima di introdurre la crittografia abbiamo bisogno diconoscere la definizione di crittologia che deriva dal greco kryptòs (nascosto) e logos (discorso).[br]La crittologia è la disciplina che si occupadelle scritture nascoste nel suo duplice significato: da un lato comprendeinfatti l’ideazione di metodi sempre più sicuri per occultare il realesignificato di determinati messaggi(crittografia), dall’altro riguarda ladecifrazione di testi occultati senza conoscerne a priori il metodo usato(crittoanalisi). Questo geogebrabook verrà diviso in 2 capitoli:[br][br]-Capitolo 1: Storia della crittografia.[br][br]-Capitolo 2: Utilizzi della crittografia prima e dopo.
