El hiperboloide de revolución es la superficie generada al girar una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola]hipérbola[/url] alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Si tomamos el eje que no corta a la hipérbola, se obtiene un hipeboloide de una hoja, y tomando el otro eje, un hiperboloide de dos hojas. [br]Además, el hiperboloide de una hoja es una [b]superficie reglada[/b] que se obtiene como la superficie de revolución correspondiente a un segmento/recta que no esté contenido en un plano que pase por el eje. De las cirunferencias obtenidas, la de menor radio se denomina [b]cintura[/b], y el hiperboloide se obtiene al hacer girar una recta alrededor de esta cintura.[br][br]Visto como cuádrica, podemos considerar el [b]hiperboloide [/b]como una generalización del anterior, cambiando la "cintura" por una elipse. Su ecuación implícita reducida es[br][center][math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1[/math][/center]La cintura, es la [b]elipse[/b] [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math], que podemos parametrizar mediante [math]\{a\,cos(u),b\,sen(u),0\}[/math]. En el caso del hiperboloide de [b]revolución[/b], será una [b]circunferencia de radio [i]r[/i][/b], (igual a los parámetros [i]a[/i] y[i] b[/i]).[br]

Considerando las identidades trigonométricas [math]sen^2x+cos^2x=1, cosh^2x-senh^2x=1[/math], podemos pasar de la ecuación implícita a las ecuaciones paramétricas[center][math]\fbox{\left\{\begin{array}{rl}x=&a\,cosh(v)cos(u) \\y=&b\,cosh(v)sen(u)\\z=&c\,senh(v)\end{array}\right.}[br]\quad\begin{array}{c}\text{y denotando}\\[br]\bar v:=senh(v),[br]\end{array}\quad[br]\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&a\sqrt{1+\bar{v}^2}\,cos(u) \\[br]y=&b\sqrt{1+\bar{v}^2}\,sen(u)\\[br]z=&c\, \bar{v}[br]\end{array}\right.,[br][/math][/center]para [math]0\leq u<2\pi, v\in\mathbb R, \bar v\in\mathbb R[/math].[br][br]Para el hiperboloide de revolución, las ecuaciones se corresponden con la superficie generada al hacer girar la hipérbola [math]\{z=c\cdot\bar{v},y=0,x=r\sqrt{1+\bar{v}^2}\}[/math], cuya ecuación implícita será [math]\frac{x^2}{r^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.[/math][br][br]Considerando que, para cualesquiera p,q, [math](p\,cos(u)+q\,sen(u))^2+(p\,sen(u)-q\,cos(u))^2=p^2+q^2[/math], podríamos usar alguna de las dos posibles parametrizaciones referidas a las [b]rectas del hiperboloide[/b] que, usando la ecuación del hiperboloide: [center][math]\fbox{\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&a\left(\bar{v}\cdot sen(u)+cos(u)\right)\\[br]y=&b\left(\bar{v}\cdot cos(u)-sen(u)\right)\\[br]z=&\pm c \bar{v}[br]\end{array}\right.}[br][/math][/center]Notar que, la rectas que pasan por un punto de la cintura de la forma [math](a\,cos(u),-b\,sen(u),0)[/math], tienen como vector director [math]\overrightarrow{\left(a\,sen(u),b\,cos(u),\pm c\right)}[/math]. En particular, la tangente del ángulo formado por estas rectas y el eje de giro es [math]\pm {\sqrt{a^2sen^2(u)+b^2cos^2(u)}}/c[/math] que, en el caso del hiperboloide de revolución, será constante [math]\pm\frac{r}{c}[/math].[br][br]También, podemos utilizar la identidad trigonométrica anterior para, dado [i]m>0[/i], reescribir las ecuaciones como[center][math]\fbox{\left\{\begin{array}{rl}[br]x=&a(m\bar{v}\cdot cos(u)+\sqrt{1+v^2}\,sen(u))\\[br]y=&b(m\bar{v}\cdot sen(u)-\sqrt{1+v^2}\,cos(u))\\[br]z=&c\,\sqrt{1+m^2} \bar{v}[br]\end{array}\right.}[/math][/center]Vectorialmente[center][math][br]\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\bar v\cdot\left(\begin{array}{l}[br]am\,cos(u)\\bm\,sen(u)\\c\sqrt{1+m^2}\end{array}\right)+[br]\sqrt{1+\bar v^2}\cdot\left(\begin{array}{c}a\,sen(u)\\-b\,cos(u)\\0\end{array}[br]\right)[/math][/center]Por tanto, para cada valor de u, tenemos la intersección del hiperboloide con el plano que pasa por el punto correspondiente de la cintura y forma un ángulo [math]\omega[/math] con el eje, tal que [math]tan(\omega)=\frac{m\,r(u)}{c\sqrt{1+m^2}}[/math], donde [math]r(u)=\sqrt{a^2sen^2u+b^2cos^2u}[/math]. Despejando m en la ecuación anterior, podemos elegir el ángulo del plano de corte, tomando [math]m(u)=\frac{c\, tan(\omega)}{\sqrt{c^2\,tan^2(\omega)-r^2(u)}}[/math], válida siempre que el ángulo sea menor que el formado por las rectas del hiperboloide.