Met een Z-toets kan je de verwachtingswaarde van een hypothese toetsen.[br][list][*]Stel: Bij een IQ-toets ga je uit van een gemiddelde score [math]\mu=100[/math], met een standaardafwijking [math]\sigma=15[/math]. [br][i]De aanname van het gemiddelde score van 100 noemen we de nulhypothese: [math]H_0:\mu=100[/math].[/i][/*][*]Bij een steekproef met steekproefgrootte [math]n=40[/math] in het hoger onderwijs vindt men echter als steekproefgemiddelde [math]\bar{x}=105[/math].[br]Het steekproefgemiddelde wijkt dus duidelijk af van het aangenomen gemiddelde.[/*][*]Tegenover de nulhypothese kan je daarom een alternatieve hypothese stellen:[br]het gemiddelde is kleiner dan 100, groter dan 100, verschillend van 100.[br]In dit geval is de alternatieve hypothese uiteraard: [i]het gemiddelde is groter dan 100: [math]H_1:\mu>100[/math][/i].[br]We gaan hierbij uit van een significantieniveau van 5%.[/*][/list][size=150]Hoe werkt een Z-toets van een gemiddelde[/size][br][list][*]Je kent de standaardafwijking en wil een aangenomen gemiddelde testen in een steekproef.[/*][*]Dit doe je door in de normale verdeling de kans af te lezen dat (met het aangenomen gemiddelde) het steekproefgemiddelde zich voordoet.[/*][*]Is de kans dat een steekproefgemiddelde zich voordoet kleiner dan 5%, dan verwerpen we het aangenomen gemiddelde. [br]Is de kans groter dan 5% dan behouden we de aangenomen waarde voor het gemiddelde.[br]Een grote kans op een afwijkend steekproefgemiddelde gebruik je m.a.w. als argument om het aangenomen gemiddelde te verwerpen, een kleine kans om het gemiddelde te verwerpen.[/*][/list][size=150]Wat doet het commando ZToetsGemiddelde[/size][br]Het commando berekent het gestandaardiseerde steekproefgemiddelde en geeft hiervoor de waarschijnlijkheid in de standaardnormale verdeling.

Het commando ZToetsGemiddelde heeft volgende syntax:[br][b]ZToetsGemiddelde(steekproefgemiddelde, [math]\sigma[/math], steekproefgrootte, hypothetisch gemiddelde, staart)[/b].[br]Als staart kies je uit "<", ">" of "[math]\ne[/math]", de aanhalingstekens inbegrepen.[br]Omdat het steekproefgemiddelde hier groter is dan de aangenomen waarde kies je voor [b]">"[/b].[br][u]Opmerkingen[/u]: [br][list][*]De parameter [i]steekproefgrootte [/i]zorgt er voor dat je rekening houdt met de centrale limietstelling.[/*][*]Met "<" of ">" als staart onderzoek je slechts één uiteinde van de normaalkromme.[br]Je spreekt dan van een [i]eenzijdige toets[/i].[/*][*]Met "[math]\ne[/math]" als staart onderzoek je beide uiteinden van de normaalkromme.[br]Je spreekt dan van een [i]tweezijdige toets[/i].[br][/*][/list]

Met steekproefgemiddelde [math]\bar{x}[/math][i]=105[/i], standaardafwijking [math]\sigma[/math][i]=15[/i], steekproefgrootte n=[i]40[/i], hypothetisch gemiddelde [math]\mu[/math][i]=100[/i] en staart ">" krijg je met het commando[br][b]ZToetsGemiddelde(105, 15, 40, 100, ">") [/b]als resultaat een lijst met 2 elementen: [b]{0.01751, 2.108}[/b].[br][list][*]Het tweede element is de zgn. [b]testwaarde[/b]. Dit is gestandaardiseerde waarde van het steekproefgemiddelde[/*][*]Het eerste element is de [b]waarschijnlijkheid [/b]van deze testwaarde in de standaardnormale verdeling volgens de gekozen staart.[br]M.a.w. de kans dat je bij een standaardnormale verdeling een waarde groter hebt dan de testwaarde waarde 2,108 gelijk is aan 0,01751 (of 1.75%). [br][br][/*][/list][size=150]De testwaarde[/size][br]De testwaarde [b]2.108[/b] is de gestandaardiseerde waarde van het steekproefgemiddelde, rekening houdend met de standaardafwijking van de steekproevenverdeling volgens de [url=https://www.geogebra.org/m/zbbyy4am#material/pmpcah9b]centrale limietstelling[/url]. [br]Met steekproefgemiddelde [math]\bar{x}[/math]=105, hypothetisch gemiddelde [math]\mu[/math]=100, standaardafwijking [math]\sigma[/math]=15 en steekproefgrootte [math]n[/math]=40 krijg je: [math]\left(105-100\right):\frac{15}{\sqrt{40}}=2.108[/math]. [br][size=150][br]De waarschijnlijkheid[/size][br]Je kan de gevonden waarschijnlijkheid van de testwaarde ook berekenen met het commando [b]Normaal[/b].[br]Maak je niet het ommetje langs de Z-waarde en de standaardnormale verdeling, dan vind je dezelfde kans:[br][math]1-Normaal\left(100,\frac{15}{\sqrt{40}},105\right)=0.01751[/math][br]

Je kan de waarschijnlijkheid ook controleren in de app [i][img]https://geogebra.github.io/docs/manual/en/_images/tutorials/16px-Menu_view_probability.svg.png[/img] [/i]Waarschijnlijkheidsrekening . [br][list][*]Open het venster [i][i][img width=24,height=24]https://lh4.googleusercontent.com/HivOxVsrBJ33sXynjf8nRGUxixErGNfZCGqzPmD8ZcH5kELVBmFYWZMW54sYLJ69THm4La5ja-PtEWUXiMZ69-_0hzM5fyM_qf8q6JutWpFcz90aQOyaIoWRR0JRjNEqplwIPGSseF_Yhgi4JnhLrWYyrNE88mQAyenqQVeM1GlPHSrBQ7bxYP7sRQ[/img] Verdelingen.[/i][/i][/*][*]Vul voor [math]\mu[/math] de waarde 0 in en voor [math]\sigma[/math] de waarde 1, m.a.w.: kies de standaardnormale verdeling. [/*][*]Selecteer als interval het icoon [b][ [/b]([i]groter dan[/i]).[/*][*]In het applet lees je af dat de kans voor de testwaarde [i]2.108 [/i]gelijk is aan [b]0.01751[/b] (of 1.75%). [br]Het resultaat 1.75% is duidelijk kleiner dan het significantieniveau van 5%. [br]Anders gezegd: het gemeten gemiddelde is te afwijkend om vast te houden aan de aangenomen waarde.[br]De nulhypothese ([i]gemiddelde = 100[/i]) wordt daarom verworpen.[/*][/list]

Toon in de app waarschijnlijkheidsrekening de steekproevenverdeling als een normale verdeling.[br]Je kan nu de nulhypothese testen zonder het steekproefgemiddelde te standaardiseren. Je moet hierbij enkel rekening houden met de centrale limietstelling.[br]Met [math]\mu=100[/math], [math]\sigma=\frac{15}{\sqrt{40}}[/math] en de intervalkeuze[size=150] [b][[/b] [/size]vind je voor het steekproefresultaat 105 ook [b]0.01751[/b] als kans.

Illustratieve applets over hypothesetoetsen vind je op [url=https://www.geogebra.org/m/zbbyy4am]toetsen van hypothesen[/url].