Met een Z-toets kan je de verwachtingswaarde van een hypothese toetsen.[br][list][*]Stel: Bij een IQ-toets ga je uit van een gemiddelde score [math]\mu=100[/math], met een standaardafwijking [math]\sigma=15[/math]. [br][i]De aanname van het gemiddelde score van 100 noemen we de nulhypothese.[/i][/*][*]Bij een steekproef met steekproefgrootte [math]n=40[/math] in het hoger onderwijs vindt men echter als steekproefgemiddelde [math]\bar{x}=105[/math].[br]Het steekproefgemiddelde wijkt dus duidelijk af van het aangenomen gemiddelde.[/*][*]Tegenover de nulhypothese kan je daarom een alternatieve hypothese stellen:[br]het gemiddelde is kleiner dan 100, groter dan 100, verschillend van 100.[br]We gaan hierbij uit van een significantieniveau van 5%.[/*][/list][size=150]Hoe werkt een Z-toets van een gemiddelde[/size][br][list][*]Je kent de standaardafwijking en wil een aangenomen gemiddelde testen in een steekproef.[/*][*]Dit doe je door in de normale verdeling de kans af te lezen dat (met het aangenomen gemiddelde) het steekproefgemiddelde zich voordoet.[/*][*]Is de kans dat een steekproefgemiddelde zich voordoet kleiner dan 5%, dan verwerpen we het aangenomen gemiddelde. [br]Is de kans groter dan 5% dan behouden we de aangenomen waarde voor het gemiddelde.[br]Een grote kans op een afwijkend steekproefgemiddelde gebruik je m.a.w. als argument om het aangenomen gemiddelde te verwerpen, een kleine kans om het gemiddelde te verwerpen.[/*][/list][size=150]Wat doet het commando ZToetsGemiddelde[/size][br]Het commando berekent het gestandaardiseerde steekproefgemiddelde en geeft hiervoor de waarschijnlijkheid in de standaardnormale verdeling.

Het commando ZToetsGemiddelde heeft volgende syntax:[br][b]ZToetsGemiddelde(steekproefgemiddelde, standaardafwijking, steekproefgrootte, staart)[/b].[br]Als staart kies je uit "<", ">" of "[math]\ne[/math]", de aanhalingstekens inbegrepen.[br]Omdat het steekproefgemiddelde hier groter is dan de aangenomen waarde kies je voor [b]">"[/b].[br][u]Opmerkingen[/u]: [br][list][*]De parameter [i]steekproefgrootte [/i]zorgt er voor dat je rekening houdt met de centrale limietstelling.[/*][*]Met "<" of ">" als staart onderzoek je slechts één uiteinde van de normaalkromme.[br]Je spreekt dan van een [i]eenzijdige toets[/i].[/*][*]Met "[math]\ne[/math]" als staart onderzoek je beide uiteinden van de normaalkromme.[br]Je spreekt dan van een [i]tweezijdige toets[/i].[br][/*][/list]

Met steekproefgemiddelde 105, standaardafwijking 15, steekproefgrootte 40 en staart ">" krijg je met het commando[br][b]ZToetsGemiddelde(105, 15, 40, ">") [/b]als resultaat een lijst met 2 elementen: [b]{0.01751, 2.108}[/b].[br][list][*]Het tweede element is de zgn. [b]testwaarde[/b]. Dit is gestandaardiseerde waarde van het steekproefgemiddelde[/*][*]Het eerste element is de [b]waarschijnlijkheid [/b]van deze testwaarde in de standaardnormale verdeling volgens de gekozen staart.[br]M.a.w. de kans dat je bij een standaardnormale verdeling een waarde groter hebt dan de testwaarde waarde 2,108 gelijk is aan 0,01751 (of 1.75%). [br][br][/*][/list][size=150]De testwaarde[/size][br]De testwaarde [b]2.108[/b] is de gestandaardiseerde waarde van het steekproefgemiddelde, rekening houdend met de standaardafwijking volgens de centrale limietstelling. [br]Met gemeten gemiddelde 105, aangenomen gemiddelde 100, standaardafwijking 15 en steekproefgrootte krijg je: [math]\left(105-100\right):\frac{15}{\sqrt{40}}=2.108[/math][br][size=150][br]De waarschijnlijkheid[/size][br]Je kan de gevonden waarschijnlijkheid van de testwaarde berekenen met het commando [b]Normaal[/b].[br]Maak je niet het ommetje langs de Z-waarde en de standaardnormale verdeling, dan vind je dezelfde kans:[br]Ook [math]1-Normaal\left(100,\frac{15}{\sqrt{40}},105\right)=0.01751[/math][br]Rekenen met Z-waarden is enkel een middel om relatieve afwijkingen t.o.v. het gemiddelde met elkaar te vergelijken, het is niet nodig om de geloofwaardigheid van een aangenomen gemiddelde te testen via een steekproef. Het commando [b]ZToetsGemiddelde[/b] laat toe berekeningen te maken zonder dat je zelf eerst de centrale limietstelling moet toepassen, alleen ziet het resultaat er cryptischer uit...

Je kan de waarschijnlijkeid ook controleren in de app waarschijnlijkheidsrekening . [br][list][*]Vul voor [math]\mu[/math] de waarde 0 in en voor [math]\sigma[/math] de waarde 1, m.a.w.: kies de standaardnormale verdeling. [/*][*]Selecteer als interval het icoon [b][ [/b]([i]groter dan[/i]).[/*][*]In het applet lees je af dat de kans voor de testwaarde 2.108 gelijk is aan [b]0.01751[/b] (of 1.75%). [br]Het resultaat 1.75% is duidelijk kleiner dan het significantieniveau van 5%. [br]Anders gezegd: het gemeten gemiddelde is te afwijkend om vast te houden aan de aangenomen waarde.[br]De nulhypothese ([i]gemiddelde = 100[/i]) wordt daarom verworpen.[br][/*][/list]

Illustratieve applets over hypothesetoetsen vind je op [url=https://www.geogebra.org/m/zbbyy4am]toetsen van hypothesen[/url].