Dos rectas en el espacio tridimensional que no intersecan y que sus vectores directores son linealmente independientes, se cruzan.[br][br]Para hallar la (recta) perpendicular común a dos rectas que se cruzan se proponen tres maneras. [br][br]La primera:[br]1. Tomas un punto A genérico de la recta r, en paramétricas (depende de un parámetro, t).[br]2. Tomas un punto B genérico de la recta s, en paramétricas (depende de un parámetro, [math]\lambda[/math]).[br]3. Formas el vector [math]\vec{AB}[/math].[br]4. Impones que el vector [math]\vec{AB}[/math] ha de ser ortogonal al vector director de r y al vector director de s, por lo que los productos escalares de [math]\vec{AB}[/math] con cualquiera de los otros dos es nulo.[br]5. Resuelves el sistema lineal 2x2 que se origina de la condición anterior, determinando un valor para los parámetros t y [math]\lambda[/math]. [br]6. Ya tienes los puntos A y B, puntos de la perpendicular común. Así que la perpendicular común queda determinada como la recta que pasa por dichos puntos (y su vector director es [math]\vec{AB}[/math]).[br][br]La segunda: [br]0. Hallas el vector [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math], donde [math]\vec{u}[/math] es un vector director de la recta r y [math]\vec{v}[/math] un vector director de la recta s.[br]1. Tomas un punto A genérico de la recta r, en paramétricas (depende de un parámetro, t).[br]2. Tomas un punto B genérico de la recta s, en paramétricas (depende de un parámetro, [math]\lambda[/math]).[br]3. Formas el vector [math]\vec{AB}[/math].[br]4. Impones que el vector [math]\vec{AB}[/math] sea linealmente dependiente (proporcional) con el vector [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math] (la recta perpendicular común a r y s tiene esa dirección), lo que implica que las razones de las coordenadas correspondientes de dichos vectores forman proporción (la primera coordenada del primer vector dividida por la del segundo coincide con la segunda coordenada del primer vector dividida por la del segundo y también con la tercera coordenada del primer vector dividida por la del segundo).[br]5. Resuelves el sistema lineal 2x2 que se origina de la condición anterior, determinando un valor para los parámetros t y [math]\lambda[/math].[br]6. Ya tienes los puntos A y B, puntos de la perpendicular común. Así que la perpendicular común queda determinada como la recta que pasa por dichos puntos (y su vector director es [math]\vec{AB}[/math]).[br][br][br]

La tercera forma:[br][br]Sea A[math]_r[/math] un punto de la recta r y [math]\vec{u}[/math]su vector director.[br]Sea A[math]_s[/math] un punto de la recta s y [math]\vec{v}[/math] vector director.[br][br]1. Hallas la ecuación general (también denominada implícita) del plano que contiene a r (el que contiene a A[math]_r[/math] y a la dirección [math]\vec{u}[/math]) y contiene a la dirección ortogonal con r y s, [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math].[br]2. Hallas la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a s (el que contiene a A[math]_s[/math] y a la dirección [math]\vec{v}[/math]) y contiene a la dirección ortogonal con r y s, [math]\vec{u}\times\vec{v}[/math].[br]3. Intersecas los dos planos: la intersección de sus ecuaciones generales o implícitas son, precisamente, las ecuaciones implícitas de la recta perpendicular común a r y s (no hay que hacer nada más).