Komplexe Polynom [math]P\left(z\right)=z^2+\left(1+i\right)z-1=p\left(r,s\right)[/math][br]Parametrisierung über [math]z=re^{\left(is\right)}=r\left(cos\left(s\right)+isin\left(s\right)\right)[/math], [math]s\in\left[0,2\pi\right][/math] ,[math]r\in\left(0,\infty\right)[/math] [br]Für jedes fest gewählte [math]r[/math] wird die Kurve [math]P\left(z\right)[/math] mit [math]\left|z\right|=r[/math] dargestellt. Der Punkt [math]B=\left(\Re\left(P\left(z\right)\right),\Im\left(P\left(z\right)\right)\right)[/math], wobei [math]r[/math] fest gewählt ist und [math]s[/math] das Intervall [math]\left[0,2\pi\right][/math] durchläuft (in der Animation gilt [math]-360°\sim2\pi\le s\le6\pi\sim1080°[/math] für die bessere Darstellung )[br]Damit entspricht das Polynom [math]P\left(z\right)[/math] einer Kurvenschar [math]p_r\left(s\right)[/math]. Für [math]r=0[/math] reduziert sich die Kurve auf den Punkt [math]\left(-1,0\right)[/math], der dem Absolutglied [math]a_0=-1[/math] entspricht.[br][br]Damit das Polynom eine Nullstelle hat muss eine Kurve der Kurvenschar den Ursprung [math]\left(0,0\right)[/math] enthalten. [br]Durch Veränderung von [math]r[/math] sieht man, dass das für [math]r\approx1,7[/math] bzw. [math]r\approx0,6[/math] der Fall ist. [br][br]Für dem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra erläutert von Prof. Weitz auf youtube https://www.youtube.com/watch?v=IQ4vHoJSLxk[br]werden außerdem für festgewähltes [math]r[/math] als Hilfsgrößen der Kreis [math]z^2[/math] und der Vektor der [math]P\left(z\right)-z^2[/math] (der Anteile niederen Grades) dargestellt. Außerdem sieht man, dass für hinreichend großes [math]r[/math] die Kreisfläche mit dem Radius kleiner gleich 1 nicht berührt wird. [br]