[b]Definição:[br][/b]Uma [i]função vetorial [/i][math]F[/math][i] de várias variáveis reais[/i] é uma correspondência, [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math], que a cada ponto [math]X=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\in Dom\left(F\right)[/math], associa um e apenas um [math]Y=\left(y_1,y_2,...,y_m\right)\in\mathbb{R}^m[/math], tal que [math]F\left(X\right)=Y[/math]. O conjunto [math]Dom(F)[/math] é chamado de domínio de [math]F[/math] e é o maior conjunto onde [math]F[/math] é definida.[br][br]Inicialmente apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde para cada [math]\left(u,v\right)\in Dom\left(F\right),F\left(u,v\right)=\left(x,y,z\right)[/math]. Elas se relacionam com [b]parametrização de superfícies[/b]. [br][br][br]Posteriormente, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde para cada [math]\left(u,v\right)\in Dom\left(F\right),F\left(u,v\right)=\left(x,y\right)[/math]. E de funções de [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde para cada [math]\left(u,v,w\right)\in Dom\left(F\right),F\left(u,v,w\right)=\left(x,y,z\right)[/math]. Elas representarão [b]transformações[/b] no plano e no espaço, respectivamente. [br][br]Finalmente, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde [math]F[/math] associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de [b]campos vetoriais[/b].

Não podemos confundir esses dois termos. Considere uma função da forma:[br] [br] [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math], tal que [math]X=\left(x_1,x_2,..,x_n\right)\mapsto F\left(X\right)=\left(f_1\left(X\right),f_2\left(X\right),...,f_m\left(X\right)\right)[/math][br][br]O conjunto [math]Im\left(F\right)=\text{\{}F\left(X\right)\in\mathbb{R}^m\mid X\in Dom\left(F\right)\text{\}}[/math] é chamado conjunto imagem da função vetorial de [math]n[/math] variáveis reais de [math]F[/math]. Note que é um conjunto de [math]\mathbb{R}^m[/math]. Por outro lado, o conjunto [math]G\left(F\right)=\text{\{}\left(X,F\left(X\right)\right)\in\mathbb{R}^{n+m}\mid X\in Dom\left(F\right)\text{\}}[/math] representa o gráfico da mesma função. Note que desta vez, o conjunto está em [math]\mathbb{R}^{n+m}[/math]. [br][br]Neste capítulo [math]n,m\ge2[/math], portanto os gráficos estarão em [math]\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^5,[/math]etc..., daí não poderemos esboçá-los. Somente poderemos esboçar o conjunto imagem que será um subconjunto de [math]\mathbb{R}^2[/math] ou [math]\mathbb{R}^3[/math].

[br]A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde o conjunto imagem são algumas superfícies conhecidas. Elas são parametrizações das respectivas superfícies.

A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math] e veremos como elas transformam figuras do plano.

A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3[/math] e veremos como elas transformam superfície do espaço

A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde [math]F[/math] associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] em cada ponto do domínio de [math]f[/math], isto é, [math]F\left(x,y\right)=\nabla f\left(x,y\right)[/math]. A função [math]f[/math] é chamada de função potencial do campo vetorial [math]F[/math].[br]Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.

A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde [math]F[/math] associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}[/math] em cada ponto do domínio de [math]f[/math], isto é, [math]F\left(x,y,z\right)=\nabla f\left(x,y,z\right)[/math]. A função [math]f[/math] é chamada de função potencial do campo vetorial [math]F[/math].[br]Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.

Os applets são abertos para o leitor. Sinta-se livre para definir as coordenadas de cada função e gerar seu campo vetorial, no [math]\mathbb{R}^2[/math] ou no [math]\mathbb{R}^3[/math], respectivamente.

[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]