Trigonometrie
Unterrichtseinheit Trigonometrie FH
Table of Contents
- Einheitskreis und rechtwinklige Dreiecke
- Einheitskreis und rechtwinklige Dreiecke
- Sinus und Cosinus
- Sinus und Cosinus für Winkel <0° und >360°
- Bogenmaß
- Symmetrie
- DEG, RAD was ist was ?
- Verschieben und Strecken - Modellierung mit Sinus und Cosinus
- Trigonometrische Funktionen in der Praxis
- Streckung in y-Richtung - Änderung der Amplitude
- Streckung in X-Richtung - Änderung der Periode
- Verschiebung in Y-Richtung
- Phasenverschiebung, Verschiebung in X-Richtung
- Verschiebung
- Übungen
- Anwendung und Übungen
- Tangens - Was nützt das?
- Umkehrfunktion
- Lösen trigonometrischer Gleichungen
- Wiederholung - Rundumschlag
- Glossar - Begriffe
- Glossar Trigonometrie
Einheitskreis und rechtwinklige Dreiecke
Der Einheitskreis (Applet 1)
Fragen zum Einheitskreis.
Kreuze die richtigen Antworten an. Nutze das Applet wenn du bei Fragen unsicher bist.[br][br]Welche der folgenden Aussagen trifft auf den Einheitskreis zu:
Welche Koordinaten beschreiben einen Punkt auf dem Einheitskreis?[br]
Teil 2: Winkel und Punkte am Einheitskreis
Eine Methode, um die Sinus- und Kosinuswerte schnell zu ermitteln, ist das Ablesen am Einheitskreis. Dazu zeichnet man einen Kreis mit Radius 1. Man lässt nun den Punkt auf dem Einheitskreis [b]gegen den Uhrzeigersinn[/b] wandern. Es ergibt sich ein Winkel am Ursprung, den wir [color=#ff0000]α [/color]nennen.[br][br]
Winkel am Einheitskreis (Applet 2)
Nutze das Geogebra-Applet, um folgende Fragen zu beantworten
Welcher Punkt gehört zum Winkel alpha = 45°?
Welcher Winkel gehört zum Punkt (0.97 , 0.26)?
Teil 3: Einfaches Ablesen von Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Beachte: Der Abstand von P zum Ursprung ist immer 1, da der Radius 1 ist.[br][br]Zieht man nun vom Punkt zur x- bzw. y-Achse Verbindungslinien, so entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke.[br]Der Winkel [color=#ff0000]α [/color]kommt nochmal im oberen Dreieck aufgrund des Stufenwinkelsatzes (vergleiche Klasse 7) vor.
Dreiecke im Einheitskreis (Applet 3)
[size=150][b][size=150][b]Die Trigonometrischen Relationen verraten einem für das untere Dreieck:[/b][/size][br][/b][/size][size=150][b][math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{Gegenkathete}{1}=Gegenkathete[/math][br]bzw. für das obere Dreieck:[br][/b][/size][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{Ankathete}{1}=Ankathete[/math][br]Wie praktisch! Denn unsere Koordinaten des Punkts P sind genau [b]P([color=#6aa84f]Ankathete[/color] [color=#38761d][color=#000000]|[/color][/color] [color=#0000ff]Gegenkathete [/color]).[br][/b]Auf diese Art und Weise kann man also jedem Winkel einen Punkt auf dem Einheitskreis und somit den Sinuswert und den Cosinuswert zuordnen.
Welche trigonometrische Funktionen haben Werte auf dem Einheitskreis?[br]
Nutze nun das Arbeitsblatt 1 und bearbeite die Aufgaben 1 und 2. Nutze dazu das Einheitskreis-Applet unterhalb. [br][br]Bearbeite im Anschluss Aufgabe 3. (Nutze das Applet 5 zur Kontrolle.)
1504_AB
Wertetabelle mit dem Einheitskreis (Applet 4)
Teil 4: Die Sinus und Cosinus-Funktion
Wir können nun die ersten Schritte gehen, um die Sinus- und Cosinusfunktion zu visualisieren. Wir ordnen jedem Winkel einen X- bzw. Y-Wert zu und erhalten damit folgende Schaubilder:
Sinus und Cosinus für 0° - 360° (Applet 5)
Teil 5: Verständnisfragen
Wiederholen wir zum Abschluss was wir heute gelernt haben. [br][br]Wir haben verschiedene Aspekte des Einheitskreis kennengelernt. Was ist der Einheitskreis und wie wird er definiert? Erläutere, wie die Winkelwerte im Einheitskreis dargestellt werden.
Wie können Sinus- und Kosinusfunktionen zur Berechnung von Höhen und [br]Längen in einem rechtwinkligen Dreieck verwendet werden? Gib ein [br]konkretes Beispiel an, in dem diese Funktionen angewendet werden, um [br]eine unbekannte Länge zu berechnen.
Zusatz: Ist die Zuordnung von Punkten zu einem Winkel eindeutig?
Sinus und Cosinus für Winkel <0° und >360°
Die letzte Einheit endete mit der Frage, ob die Zuordnung von Punkten zu Winkel eindeutig ist.[br]Das heißt, jedem Winkel ist eindeutig ein Punkt und damit auch ein eindeutiger Sinus und Cosinuswert zuzuordnen. [br][br]Wieso diese Aussage wahr ist, betrachten wir in dieser Einheit.
Teil 1: Negative Winkel
Betrachten wir zunächst negative Winkel am Einheitskreis. Bewege den Punkt mit dem Uhrzeigersinn auf dem Einheitskeis. WIr sehen, dass jedem Winkel ein Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet wird. Wir können damit auch Sinus und Cosinus für negative Winkel aufzeichnen.
Negative Winkel (Applet 1)
Teil 2: Winkel größer als 360°
Wir können auch für Winkel größer als 360° den Einheitskreis verwenden. Wenn wir den Punkt über die 360° bewegen wiederholen sich die Werte für die Punkte. Damit ordnen wir jedem Winkel einen eindeutigen Punkt zu.
Arbeitsblatt beliebige Winkel
Merke.
Der Verlauf von Schaubildern von Sinus und Cosinus wiederholt sich nach [br]dem Durchlaufen des Intervalls [0 ; 2pi]. Man sagt daher, die [br]Sinusfunktion und die Cosinusfunktion haben beide die Periode 2pi.
Trigonometrische Funktionen in der Praxis
Natur und Technik
In Natur und Technik spielen Schwingungen wie Schallwellen udn Lichtwellen sowie sich regelmäßig wiederholende Vorgänge wie Ebbe und Flut eine wichtige Rolle. [br]Mithilfe von Sinusfunktionen oder Cosinusfunktionen können solche Vorgänge beschrieben werden. [br]Dazu wird die Funktionsgleichung an die Gegebenheiten angepasst. Durch entsprechende Transformationen erhält man eine allgemeine Sinusfunktion bzw. Cosinusfunktion. Sinus- oder Cosinusfunktionen nennt man auch [b]trigonometrische Funktionen.[/b]
Beispiel Ebbe und Flut im Hafen
Das Schaubild unterhalb zeigt den Wasserstand im Hafen an einem Sommertag. [br]Er schwankt zwischen dem Höchststand von 4m um 3:00 Uhr (t=3) und dem Tiefstand von 0,40 um 9:00 Uhr (t=9). [br]Die maximale Abweichung vom [color=#0000ff]mittleren Wasserstand[/color] (2,20m um 0:00 Uhr) nennt man [color=#ff0000]Amplitude [/color]. [br]Sie beträgt hier 1,80m. Um 15:00 Uhr wird erneut der Höchststand von 4,00m erreicht. Der Pegelstand wiederholt sich [color=#9900ff]periodisch[/color] alle 12 Stunden.[br]Um eine passende Funktionsgleichung zu bestimmen, betrachtet man die Grundfunktion f mit f(x) = sin (x). Das Schaubild von f hat die Amplitude 1 und die Periode 2[math]\pi[/math]. Nun wird das Schaubild der Sinusfunktion entsprechend gestreckt bzw. verschoben. [br]Nach allen Transformationen erhalten wir folgendes Schaubild:
Ebbe/Flut
Glossar Trigonometrie
Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Ursprung (0,0) und einem festen Radius 1.