Eine Funktion vom Typ [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] heißt [b]Potenzfunktion vom Grad [/b][math]n[/math]. Dabei ist [math]a\ne0[/math] eine reelle Zahl.[br][br]Beispiele für Potenzfunktionen mit natürlichen Zahlen [math]n[/math] als Exponenten sind:[br] [math]g\left(x\right)=-\frac{3}{2}\cdot x^3[/math][br] [math]h\left(x\right)=15\cdot x^2[/math][br] [math]i\left(x\right)=-2,3\cdot x^5[/math]
Untersuche mithilfe der Schieberegler im Funktionsplotter unten, wie die Parameter [math]a[/math] und [math]n[/math] den Verlauf des Graphen der Potenzfunktion beeinflussen:
a) Verändere zunächst nur [math]n[/math] und lasse den Parameter [math]a[/math] bei 1. Beschreibe ganz genau, welchen Einfluss der Parameter [math]n[/math] auf den Verlauf des Funktionsgraphen hat. [br][br][i]Stelle dir hierzu auch die folgenden Fragen:[br][/i][list][*][i]Wie verändert sich das Symmetrieverhalten der Funktionen? [br][/i][/*][*][i]Lassen sich die Funktionsgraphen in verschiedene Typen gruppieren?[/i][br][/*][/list]
b) Verändere nun den Parameter [math]a[/math] und beschreibe ganz genau, wie sich seine Veränderung auf den Verlauf des Funktionsgraphen auswirkt. [br][i][br]Stelle dir hierzu auch die folgenden Fragen:[br][/i][list][*][i]Verändert sich das Symmetrieverhalten?[br][/i][/*][*][i]Kennst du aus der Klasse der quadratischen Funktionen einen Parameter, welcher einen ähnlichen Einfluss auf den Funktionsgraphen hatte? [/i][/*][/list]
Das folgende Applet sieht nur auf den ersten Blick so aus wie das vorherige. Untersuche mithilfe der Schieberegler, was sich gegenüber dem vorhergehenden Applet geändert hat. [br][br]Welche neuen Zusammenhänge zwischen den Parametern [math]a[/math] oder [math]n[/math] und dem Verlauf des Graphen kannst du hier entdecken? Beschreibe deine Beobachtungen ganz genau. Versuche sie auch zu begründen.