[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜数列anの収束と発散＞[/size][/b][br]自然数kに対応する関数akのリスト{a[sub]1[/sub],a[sub]2[/sub],....,a[sub]n[/sub],....}を[color=#0000ff][b]無限数列[sequence][/b][/color]という。[br][color=#0000ff]（例）[/color]１，1/2,1/4,.....,1/2[sup]n-1[/sup],.......は無限数列だ。[br]・数列anが番号の大小と数列の大小と同じなら単調増加。大小が反対なら単調減少という。[br]・単調増加数列のどれもM以下なら上に有界、単調減少数列のどれもN以上なら下に有界という。[br]　M以下ということはM未満でもよい。だから、Mは最大値というわけではない。[br]　同様にN以上はNより大でもよかから、Nが最小値というわけではない。[br][color=#0000ff]（例）[/color]1/2, 2/3,3/4, .......,n/n+1,.....は1をこえないので、上に有界。[br][br]・[color=#0000ff][b][size=150]適当な正数εに対して、N(ε)をこえる番号nからは|a[sub]n[/sub]ーα|＜εが成り立つようなN(ε)が選べるとき[/size][/b][/color]、「a[sub]n[/sub]は[color=#0000ff][b]極限値はα[/b][/color]だ」や「anは[color=#0000ff][b]αに収束[converge][/b][/color]する」という。[math]^{lim}_{n\longrightarrow\infty}a_n=α[/math]([b][size=150][color=#9900ff]コーシーの定理[/color][/size][/b]）　[br]　つまり、a[sub]n[/sub]のαとの差異が適当なεにおさまるようにできる無限数列のことだね。[br]・有限な極限値を持たないときは、[color=#0000ff][b]発散[diverge][/b][/color]するという。[br]発散の１つめは、anが∞（正の無限大）または、−∞（負の無限大）に発散する場合。[br]これを[b][color=#0000ff]単純発散[properly divergent][/color][/b]という。[br]揺れ動く場合も発散という。有界な範囲内で振動する[color=#0000ff][b]有界振動[oscillate finitely][/b]と、[/color][br]有界ではなく振動する[color=#0000ff][b]振動発散[oscillate infinitely][/b]が[/color]ある。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]n→∞のとき、[br]a[sub]n[/sub]=[math]\frac{1}{2n}=\frac{1}{\infty}\longrightarrow0[/math][math]\frac{1}{2n}=\frac{1}{\infty}\longrightarrow0[/math] は収束、a[sub]n[/sub]=n+１→∞　は単純発散、a[sub]n[/sub]=cosn→±１の間で有界振動。[br]a[sub]n[/sub]=n cosnは＋∞か−∞の両方になりうる振動発散。[br][br][b][size=150]＜数列の極限値の性質＞[br][/size][/b]n→∞のとき、数列anがαに収束し、数列bnがβに収束するとき、[br]数列の和、差、定数倍、積、商の極限値は、極限値の和、差、定数倍、積、商になる。[br][color=#0000ff][b]n→∞のとき、an+bn→α＋β、an-bn→αーβ、c an→c α、[/b][/color][color=#0000ff][b]an・bn→α・β、an/bn→α/β　(β≠0)。[br][/b][/color][br][b][size=150]＜無限等比数列の極限＞[br][/size][/b]無限等比数列ar[sup]n-1[/sup]は公差によって収束、発散の状況が変わってくる。[br]ｒ＞１ならばan→∞(正の無限大)に単純発散。[br]ｒ= 1ならばan=aとなり、an→aに収束。r が -1と１の間ならば、an→0に収束。[br] r =-1ならば、+1と-1を交互にくり返すから、有界振動。[br] r <-1 ならば、正と負をくり返しながら発散するから、振動発散。[br][color=#0000ff]（例）[/color]n→∞のとき、[br]a[sub]n[/sub]=(0.5)[sup]n[/sup]→0 に収束。、a[sub]n[/sub]=2[sup]n[/sup]→∞で単純発散。、a[sub]n[/sub]=(-1)[sup]n[/sup]→±１で有界振動、a[sub]n[/sub]=(-1.5)[sup]n[/sup]は±∞で振動発散。

[b][size=150]＜部分和と無限級数＞[br][/size][/b]無限数列をたし算したい。[br]そのために途中のｎ番目までの和を考える。[br]無限数列の１番目からn番目までの和を[color=#0000ff][b]部分和[nth partial sum][/b][/color]という。[br]（例）Sn=１＋1/2+1/4+......+1/2[sup]n-1[/sup]は部分和。[br]部分和のS[sub]n[/sub]=∑akのn→∞のときの極限値limSnを[color=#0000ff][b]無限級数[infinite series]（の和）[/b][/color]といいます。[br]部分和という考え方を用意する理由は、[color=#0000ff][b]数列を「無限にたすこと」[/b][/color]を考える代わりに[br][color=#0000ff][b]途中までたした「部分和という数列」の極限値を求めると言い換えた方が扱いやすいからだ。[br][/b][/color][b]数列の極限値[/b]と部分和という[b]数列の極限値[/b]。なかなか語呂がいいね。[br]部分和の数列S1,S2,S3,........,Sn,............の[color=#0000ff][b]極限値を無限級数の和[/b][/color]と呼ぶ。[br]つまり、[b][size=150]∑[sup]∞[/sup]a[sub]n[/sub]=limS[sub]n[/sub][/size][/b][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]無限等比級数{a[sub]k[/sub]=ar[sup]k-1[/sup]|kは自然数}の部分和、つまり、[color=#0000ff][b]有限級数の和[/b][/color]は[br]・r≠1のときS[sub]n[/sub]=a(1-r[sup]n[/sup])/(1-r)　　・r=1のときSn=na[br][color=#0000ff][b]無限級数の和[/b][/color]はrの絶対値が１未満なら[math]\frac{a}{1-r}[/math]だ。[br][br][b][size=150]＜数列anの収束と部分和Snの収束＞[br][/size][/b]部分和Snにも収束、単純発散、有界振動、振動発散がある。[br]部分和Snに[color=#0000ff][b]有界な極限値βがあるとき、級数S∞はβに収束[/b][/color]するという。[br]・[b][color=#0000ff]「n→∞のとき、部分和Snが収束するならば数列an→0に収束する。」[br][/color][u][color=#980000]しかし、その逆は成り立たない[/color][/u][color=#0000ff]。「[b][color=#0000ff]数列an→0に収束しても、部分和Snが発散するかもね。」[br][/color][/b]もちろん、対偶は成り立つ。[br]「n→∞のとき、数列an→0に収束しないならば部分和Snは発散する。」[br][br][/color][/b][color=#0000ff]・数列が０に収束して、部分和も収束する場合[br]（例）[br][/color] 数列an={１，1/2,1/4,.....,1/2[sup]n-1[/sup]}→1/∞=0に収束する。　（ｎ→∞のとき）[br]　部分和Sn={1,1+1/2,1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8,...........,1(1-(1/2)[sup]n[/sup])/(1-(1/2))}[br] ={1, 3/2,7/4, 15/8,........,2(1-(1/2)[sup]n[/sup])}→1/(1/2)=2に収束する。（ｎ→∞のとき）[br][color=#0000ff]・数列が０に収束するのに、部分和が発散する場合[br]（例）[br][/color]　数列an={１/√1，1/√2,1/√3,.....,1/√n}→1/∞=0に収束する。　（ｎ→∞のとき）[br]　しかし、[br]　部分和Sn=[math]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}}>n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}＝f\left(n\right)[/math] [br]　n→∞のとき、f(n)→∞と発散する関数より部分和はいつも大きいから[br]　Sn→∞で発散する。（n→∞のとき、）[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]　数列an={1/1,1/2,1/3,......,1/n}→1/∞=0　（ｎ→∞のとき）[br]区分求積でx=kにおける曲線y=1/xの幅１の積分と定数1/kの長方形の面積比較から、[br]integral(1/x,k,k+1)＜integral(1/k,k,k+1)=1/k[br]これをあつめてintegral(1/x,1,n+1)=[log|x|][sup]n+1[/sup] [sub]1[/sub]=log(n+1)<∑(1/k)[br]　部分和Sn=∑an>log(n+1)→∞だから、Sn→∞で発散する。[br][color=#0000ff]・数列が０に収束しないから、部分和が発散する場合[br][/color][color=#0000ff]（例）[br][/color]　数列an={1/2，2/3 , 3/4, 4/5,.....,k/(k+1)}→1に収束する。　（ｎ→∞のとき）[br]　数列は０に収束しないので、[br]　部分和Sn={1/2, 1/2+2/3,1/2+2/3+3/4,...........}→∞に発散する。（ｎ→∞のとき）[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「級数S=∑(1+1/n)[sup]n[/sup]=∑((n+1)/n)[sup]n[/sup]の収束/発散」はどうなる？[br]　数列an={2/1,(3/2)[sup]2[/sup], (4/3)[sup]3[/sup],.........,(n+1/n)[sup]n[/sup]}は０には収束しない。（ｎ→∞のとき）[br]　だから、級数は発散する。

[size=150][b]＜極限値＞[/b][/size][br]nを限りなく大きくすると、1/nは限りなく０に近づく。1/∞=0。[br]0は1/nの[color=#0000ff]極限値[limit][/color]で、[math]^{lim}_{_{n\longrightarrow\infty}}\frac{1}{n}=0[/math] とかく。[br]極限値は、数列の一般項のｎに∞を代入して求められるとは限らない。[br][color=#0000ff]・nに∞を代入すると∞/∞、[color=#0000ff]∞-∞になる場合[/color][br][/color]∞になる速さが異なるときは、∞/∞は発散するときと０に収束するときがある。[br]∞になる速さのレベルが同じときは、nが１/nになるような式変形して、[br]０になる部分を作ることで極限値を求められるときがある。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br][b][math]\text{^{lim}_{n\longrightarrow\infty}[br]\frac{n^2-25}{n-5}}[/math] [math]=^{lim}_{n\longrightarrow\infty}\left(n+5\right)\longrightarrow\infty[/math][/b][br][b][math]=^{lim}_{n\longrightarrow\infty}\frac{1}{n+5}=\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{5}{n}}\longrightarrow\frac{0}{1}=0[/math] [/b][br][color=#0000ff]（例）n→∞のとき、[br][/color][math]\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac{\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}{\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}=\frac{n^2+n-n^2}{\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}[/math][br]=[math]\frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\longrightarrow\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}[/math][color=#0000ff]（例）n→∞のとき、[/color][br][math]\frac{\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{n^3}=\frac{1}{6}\frac{1\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{2}{n}\right)}{1\cdot1\cdot1}\longrightarrow\frac{1}{6}[/math][br][color=#0000ff]（例）n→∞のとき、[/color][br][math]\frac{\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+......+\left(n+2n\right)^2}{1^2+2^2+.......+\left(2n\right)^2}\longrightarrow\frac{13}{4}[/math][br]([color=#0000ff]理由）[/color][br][math]\frac{\sum^{2n}_{k=1}\left(n+k\right)^2}{\sum^{2n}_{k=1}k^2}=\frac{n^2\sum^{2n}1+2n\sum^{2n}k+\sum^{2n}k^2}{\sum^{2n}k^2}=\frac{n^2\cdot2n+2n\cdot\frac{\left(2n\right)\left(2n+1\right)}{2}+\frac{1}{6}2n\left(2n+1\right)\left(2\cdot2n+1\right)}{\frac{1}{6}2n\left(2n+1\right)\left(2\cdot2n+1\right)}[/math] [br][math]=\frac{3\left(2n^3\right)+3\left(4n^3+2n^2\right)+\left(8n^3+6n^2+n\right)}{\left(8n^3+6n^2+n\right)}=\frac{6n^3+12n^3+6n^2+8n^3+6n^2+n}{8n^3+6n^2+2n}=\frac{26+\frac{12}{n}+\frac{1}{n^2}}{8+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}\longrightarrow\frac{13}{4}[/math][br][color=#0000ff]・nに∞を代入すると１/∞になる場合[br][/color]　部分和が分数形なら[b]部分分数に分解して相殺して単純化[/b]してから極限値を求めよう。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]Sn=∑[math]\frac{1}{k\left(k+1\right)}[/math]=∑[math]\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)[/math]=1/1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/n+1=1-1/(n+1)[br]n→∞なら、Sn→1。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]n→∞なら、Sn＝∑f(k)=[math]\sum^n_{k=2}\frac{log_2\left(1+\frac{1}{k}\right)}{log_2k\cdot log_2\left(k+1\right)}\longrightarrow1[/math][br]f(k)=(log(k+1)-logk)/logk・log(k+1)=1/logk-1/log(k+1)。[br]Sn=1/log[sub]2[/sub]2-1/log[sub]2[/sub](n+1)=1-1/log(n+1)。Sn→1-1/∞=1-0=1。[br][b][size=150]＜ロピタルの定理＞[br][/size][/b]f(x)とg(x)の極限値が等しく、０か±∞どれかになるとき、f(x)/g(x)の極限値はf'(x)/g'(x)の極限値に等しい。[br]というのがあります。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]f(x)=x[sup]2[/sup],g(x)=2[sup]x[/sup]はｎ→∞のとき、∞に発散する。f'(x)/g'(x)=2x/2[sup]x[/sup]ln2、f''(x)/g''(x)=2/2[sup]x[/sup]ln2ln2[br] だから、f(x)/g(x)→2/∞=0に収束するね。[br][b][size=150]＜ｐ乗数列＞[br][/size][/b]n→∞のときの、ｎの正数ｐ乗のの和Sn=∑1/n[sup]p[/sup]の収束/発散は、[br]ｐが１以下なら発散、ｐが１より大なら収束。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]Sn=1+1/√2+1/√3+1/√4+1/√5+.....+1/√nは発散する。[br]Sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+.....+1/nは発散する。[br]Sn=1+1/2[sup]2[/sup]+1/3[sup]2[/sup]+1/4[sup]2[/sup]+1/5[sup]2[/sup]+....+1/n[sup]2[/sup]はπ[sup]2[/sup]/6に収束する。[br]（例）[br]「関数[math]f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2[/math] とｘ軸とｙ軸がかこむ領域Dで、周上も含む格子点数T[sub]m[/sub]とDの面積S[sub]m[/sub]の比[br]T[sub]m[/sub]/S[sub]m[/sub]のm→∞のとき極限」は？[br]f(x)=(x-m)[sup]2[/sup]から、放物線はx=mでｘ軸と接し、y切片はm[sup]2[/sup]となる。[br]x=kにおける格子点数はｘ軸上の１個も入れてf(k)+1になるね。[br]だから、T[sub]m[/sub]=[math]\sum_{k=0}^m\left(k^2-2mk+m^2+1\right)=\sum_{k=0}^mk^2-2m\sum_{k=0}^mk+\left(m^2+1\right)\sum_{k=0}^m1[/math][br]=[math]\frac{m\left(m+1\right)\left(2m+1\right)}{6}-2m\left(\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right)+\left(m^2+1\right)\left(m+1\right)[/math][br]=[math]\frac{\left(m+1\right)}{6}\left(m\left(2m+1\right)-6m^2+6\left(m^2+1\right)\right)=\frac{\left(m+1\right)}{6}\left(2m^2+m+6\right)[/math][br]一方で、Sm=[math]\int_0^m\left(x-m\right)^2=\frac{1}{3}\left[\left(x-m\right)^3\right]_0^m=-\frac{1}{3}\left(-m\right)^3=\frac{1}{3}m^3[/math][br]m→∞のとき、T[sub]m[/sub]/S[sub]m[/sub]=[math]\frac{\frac{\left(m+1\right)}{6}\left(2m^2+m+6\right)}{\frac{1}{3}m^3}=\frac{\frac{\left(1+\frac{1}{m}\right)}{6}\left(2+\frac{1}{m}+\frac{6}{m^2}\right)}{\frac{1}{3}}\longrightarrow\frac{\frac{1}{6}\cdot2}{\frac{1}{3}}=1[/math][br]