Extra largo de Calculo IV- Brayan Palma Escutia
Este libro contienen los ejercicios del curso extra largo de Calculo IV
Table of Contents
- Funciones de valor vectorial
- Análisis de concepto.
- Curvas
- Limites y continuidad de funciones de valor vectorial.
- Derivadas
- Curva suave
- Fuerza que actúa sobre un objeto.
- Recta tangente a una curva
- Integrales
- Vector velocidad y aceleración.
- Hallar la velocidad y la posición a partir de la aceleración
- Curvatura
- Movimiento Parabólico.
- VECTORES TANGENTE Y NORMALES.
- Vector Binormal
- Longitud de Arco y Intersección de curva
- Campos vectoriales
- Campos vectoriales
- Lineas de flujo.
- Función potencial.
- Divergencia
- Rotacional
- Demostración de identidad del análisis vectorial.
- Pregunta #25
- ∇ × (∇ f ) = 0
- Integrales trayectoria
- Integrales sobre curvas.
- Centro de masa.
- Trabajo
- Integrales sobre superficies
- Parametrización
- Área de la superficie
- Integral real sobre superficies.
Análisis de concepto.
1. Discuta las diferencias, si las hay, entre la curva trazada por el punto terminal de la función vectorial[br]r(t) = {f(t), g(t)} y la curva definida paramétricamente por x = f(t), y = g(t).[br][br][color=#cc0000] R: La diferencia es, la función vectorial r(t) = {f(t), g(t)} puede representar o indicar en que parte del espacio se encuentra un objeto en cualquier momento, mientras que x =f(t), y =g(t)son funciones separadas que describen puntos en el espacio.[/color][br][br]2. En el ejemplo 1.3, describe la “sombra” de la hélice en él plano xy (la sombra creada al hacer brillar una luz desde la "parte superior" del eje z). De manera equivalente, si la hélice está colapsada hacia abajo, en el plano xy, describa la curva resultante. Comparar esta curva a la elipse definida paramétricamente por x = sen t, y = −3 costo.[br][br][color=#cc0000]R:En el ejercicio 1.3 podemos observar la sombra forma un cilindro alrededor del eje z, mientras qué en la curva de x=sen(t), y=-3cos(t) es una elipse que se mueve entre en eje "x" y el eje "y" que si agarramos [br]solo los reales sería hacia arriba igual que en el ejercicio 3.[/color][br][br]3. Discuta cómo calcularía la longitud del arco de una curva en cuatro o más dimensiones. En concreto, para la curva trazada por el punto terminal del vector n-dimensional función r(t) = f1(t), f2(t), ..., fn (t) para n ≥ 4, enunciar el arco fórmula de longitud y discutir cómo se relaciona con el n-dimensional fórmula de distancia[br][br][color=#cc0000]R: Lo que se puede hacer en este caso es considerar una curva espacial trazada por el punto final de la función con valores vectoriales [b][i]r(t) = f (t), g(t), h(t)[/i][/b], donde todas continuas para [b]t ∈ [a, b][/b] y[br]donde la curva se recorre exactamente una vez a medida que "t" aumenta de "a" a "b". Y de esta manera, comenzamos dividiendo el intervalo [a, b] en n sub intervalos de igual[br]tamaño: a = t[sub]0[/sub] < t[sub]1[/sub] < ··· < t[sub]n[/sub] = b, donde t[sub]i[/sub] − t[sub]i−1[/sub] = t = [/color][math]\left(\frac{\left(b-a\right)}{n}\right)[/math][color=#cc0000], para todo i = 1, 2,..., n. Próximo,[br]para cada i = 1, 2,..., n, aproximamos la longitud del arco si de la parte de la curva que une los puntos [br](f(t[sub]i−1[/sub]), g(t[sub]i−1[/sub]), h(t[sub]i−1[/sub])) y (f (t[sub]i[/sub]), g(t[sub]i[/sub]), h(t[sub]i[/sub])) por la distancia en línea recta entre los puntos. Además, esto se relaciona con la fórmula n-dimensional, de manera de que esta fórmula nos ayuda a hacer una aproximación tomando un límite de puntos de partición tendido a n.[/color][br][br]4. La hélice de la figura 11.4a se muestra desde un punto de vista estándar (sobre el plano xy, entre los ejes x e y). Describe lo que vería un observador en el punto (0, 0, −1000).[br]Además, describa qué observadores en los puntos (1000, 0, 0) y[br](0, 1000, 0) vería.[br][br][color=#cc0000]R:En el punto (0,0,-1000), lo que podemos observar es que la hélice seguirá tomando la misma figura hasta llegar a -1000, pero los ejes x e y estarían en el origen. Mientras en los puntos (1000, 0, 0) y (0, 1000, 0) la hélice se haría más ancha en sus puntos respectivos.[/color][br]
Campos vectoriales
Definición
[size=150][size=150][b]Un campo vectorial[/b] en [math]\mathbb{R}^n[/math] es un mapa [math]F:A⊂\mathbb{R}^n→\mathbb{R}^n[/math] que asigna a cada punto [math]x[/math] en su dominio [math]A[/math] un vector [math]F(x)[/math]. Si [math]n=2[/math], [math]F[/math] se llama [b]campo vectorial en el plano[/b], y si [math]n=3[/math], [math]F[/math] es un [b]campo vectorial en el espacio.[br][br][/b][/size]Un [b]campo vectorial[/b] es una función [math]f:\mathbb{R}^n\rightarrow V_n[/math], donde V[sub]n[/sub] es el espacio vectorial real de dimensión n. Se suele escribir:[br] [math]f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=\left(f_1\left(x_1,x_2,...,x_n\right),f_2\left(x_1,x_2,...,x_n\right),...,f_n\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\right)[/math][br][/size]donde [math]f_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/math]
[color=#ff0000][b][size=200]Ejercicios del 1 al 8(solo impares)[/size][/b][/color]
[size=150][b]1.-[/b][math]F\left(x,y\right)=\left(2,2\right)[/math][/size]
[b][size=150]3.-[math]F\left(x,y\right)=\left(x,y\right)[/math][/size][/b]
[b][size=150]5.-[math]F\left(x,y\right)=\left(2y,x\right)[/math][/size][/b]
[b][size=150]7.-[math]F\left(x,y\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)[/math][/size][/b]
Integrales sobre curvas.
Definición.
La integral de línea de [math]f(x,y,z)[/math] con respecto a la longitud del arco a lo largo de la curva orientada [math]C[/math][br]en el espacio tridimensional, escrito [math]\int_Cf(x,y,z)ds[/math], está definida por[br] [br] [math]\int_Cf\left(x,y,z\right)ds=lim_{\parallel P\parallel\longrightarrow0}\sum^n_{i=1}f\left(x^{\ast}_1,y^{\ast}_i,z^{\ast}_i\right)\bigtriangleup s_i,[/math][br][br]siempre que el límite exista y sea el mismo para todas las opciones de puntos de evaluación.
Teorema.
Suponga que [math]f(x,y,z)[/math] es continua en una región [math]D[/math] que contiene la curva [math]C[/math] y que [math]C[/math] se describe paramétricamente por [math](x(t),y(t),z(t))[/math], para [math]a\le t\le b[/math], donde [math]x(t)[/math], [math]y(t)[/math] y [math]z(t)[/math] tienen primeras derivadas continuas. Entonces,[br][br] [math]\int_Cf\left(x,y,z\right)ds=\int^b_af\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2+\left[z'\left(t\right)\right]^2}dt.[/math][br][br]Suponga que [math]f(x,y)[/math] es continua en una región [math]D[/math] que contiene la curva [math]C[/math] y que [math]C[/math] es descrito paramétricamente por [math](x(t),y(t))[/math], para [math]a\le t\le b[/math], donde [math]x(t)[/math] e [math]y(t)[/math] tienen primeras derivadas continuas. Entonces[br][br] [math]\int_Cf\left(x,y\right)ds=\int^b_af\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt.[/math]
[size=150][b]1.-[/b][math]\text{f (x, y) = 2x}[/math][b], [/b][math]C[/math][b] es el segmento de línea de [/b][math](1,2)[/math][b] a [/b][math](3,5)[/math][b].[/b][/size][br][br]Entonces, tenemos la ecuación del segmento de línea que conecta los puntos (1, 2) y (3, 5) es:[br][br] [math]\text{y - 2 = m(x - 1)}[/math][br][br]Entonces, calculamos la pendiente(m):[br][br] [math]m=\frac{\left(y_2-y_1\right)}{\left(x_2-x_1\right)}=\frac{\left(5-2\right)}{\left(3-1\right)}=\frac{3}{2}[/math][br][br]Ahora, utilizando la ecuación de la recta:[br][br] [math]\text{y - 2 = (\frac{3}{2})(x - 1)}\Longrightarrow y-2=\left(\frac{3}{2}\right)x-\frac{3}{2}\Longrightarrow y=\left(\frac{3}{2}\right)x+\frac{1}{2}[/math][br][br]se puede expresar la curva C como, en este caso tomamos a x(t) como valor libre y a y(t) en términos de x:[br][br] [math]x=t,y=\left(\frac{3}{2}\right)x+\frac{1}{2}[/math][br]donde t varía de 1 a 3.[br][br]Ahora, calculamos la longitud de arco de la curva C:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left[1\right]^2+\left[\frac{3}{2}\right]^2}dt=\sqrt{1+\frac{9}{4}}dt=\sqrt{\frac{13}{4}}dt=\frac{\sqrt{13}}{2}dt[/math][br][br]Por lo tanto, la integral de línea [math]\int_Cfds[/math] se puede calcular como:[br][br] [math]\int_Cfds=\int^3_1\frac{2x\sqrt{13}}{2}dt=\sqrt{13}\int^3_1tdt=\sqrt{13}\left[\frac{t^2}{2}\right]^3_1=\sqrt{13}\left[\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2}\right]=\sqrt{13}\left[\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\right]=4\sqrt{13}[/math][br][br]Por lo tanto, la solución de la integral de línea [math]4\sqrt{13}[/math].
[size=150][b]5.-[/b][math]f(x,y)=3x[/math][b], [/b][math]C[/math][b] es el cuarto de círculo [/b][math]x^2+y^2=4[/math][b] de (2, 0) a (0, 2).[br][/b][/size][br]La ecuación del cuarto de círculo [math]x^2+y^2=4[/math] se puede parametrizar como:[br][br][math]x=2cos(t),y=2sin(t)[/math][br][br]donde t va desde 0 hasta π/2.[br][br]Entonces, la longitud de arco de la curva C se puede calcular como:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left[-2sin\left(t\right)\right]^2+\left[2cos\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{4\left(sin^2\left(t\right)+cos^2\left(t\right)\right)}dt=\sqrt{4\left(1\right)}dt=\sqrt{4}dt=2dt[/math][br][br]Por lo tanto, la integral de línea [math]\int_Cfds[/math] se puede calcular como:[br][br] [math]\int_Cfds=\int_0^{\frac{\pi}{2}}3x*2dt=6\int_0^{\frac{\pi}{2}}2cos(t)dt=6[2sin(\pi/2)-2sin(0)]=12[/math][br][br]Por lo tanto, la solución de la integral de línea es 12.
[size=150][b]9.-[/b][math]f(x,y)=3x[/math][b], C es el segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), seguido por el cuarto de círculo a (0, 1).[br][/b][/size][br]Para el primer segmento de línea de (0, 0) a (1, 0), la ecuación paramétrica es:[br][br] [math]y-0=m\left(x-0\right)[/math], [math]m=\frac{\left(y_2-y_1\right)}{\left(x_2-x_1\right)}=\frac{\left(0-0\right)}{\left(1-0\right)}=\frac{0}{1}=0[/math], [math]y-0=\left(0\right)\left(x-0\right)\Longrightarrow y=0[/math][br][br]Entonces, las ecuaciones paramétricas queda de la sig. manera:[br][br] [math]\text{x = t, y = 0}[/math] [br]donde t varía de 0 a 1.[br][br]La longitud de arco de este segmento es:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left(1\right)^2+\left(0\right)^2}dt=\sqrt{1}dt=1dt[/math][br][br]Ahora, para el segundo segmento, el círculo (1, 0) a (0, 1), la ecuación paramétrica es:[br][br] [math]x=cos(t),y=sin(t)[/math][br]donde t varía de 0 a π/2.[br][br]La longitud de arco de este segmento es:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left(-sen\left(t\right)\right)^2+\left(cos\left(t\right)\right)^2}dt=\sqrt{sen^2\left(t\right)+cos^2\left(t\right)}dt=\sqrt{1}dt=1dt[/math][br][br]Por lo tanto, la integral de línea [math]\int_Cfds[/math] se puede dividir en dos integrales:[br][br][math]\int_Cfds=\int_0^13tdt+\int_0^{\frac{\pi}{2}}3cos(t)dt=\left[(3/2)t^2\right]^1_0+\left[3sin\left(t\right)\right]^{\frac{\pi}{2}}_0=\frac{3}{2}\left(\left(1\right)^2-\left(0\right)^2\right)+3[sin(\pi/2)-sin(0)]=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}[/math][br][br]Por lo tanto, la solución de la integral de línea es [math]\frac{9}{2}[/math].[br][br][br]
Parametrización
[b][color=#ff0000][size=200]Encuentre una parametrización apropiada para la curva suave por partes dada en R^3.[/size][/color][/b]
[size=150]8.-La intersección del cilindro [math]y^2+z^2=1[/math] y el plano [math]z=x[/math].[br][/size][br]Haciendo la parametrización, tenemos lo siguiente:[br][br][math]z=x[/math][br][br]Ahora, remplazamos a z en [math]y^2+z^2=1[/math] y nos queda de la sig. manera [math]y^2+x^2=1[/math]. Despejando la ecuación para x en términos de y:[br][br][math]x=\sqrt{1-y^2}[/math][br][br]Lo cual nos dice que "y" es libre, por lo tanto, [math]y=t[/math].[br][br]En consecuencia, la parametrización es la siguiente:[br][br][math]c\left(t\right)=\left\langle\sqrt{1-t^2},t,\sqrt{1-t^2}\right\rangle[/math] donde va [math]-1\le t\le1[/math][br][br]