[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] [color=#980000]geogebra-books[/color][/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/right][/size][br][color=#980000][i][b]Leit-Kreis Konstruktionen[/b][/i][/color][br][size=85]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf{\mathcal{J}}[/math] der 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell und nicht-negativ, so sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][br][color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], und sie besitzen 4 orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], einer davon ist imaginär.[br]In [color=#0000ff][b]Normalform[/b][/color] kann man die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color], [color=#00ff00][b]-f[/b][/color], [color=#00ff00][b]1/f[/b][/color], [color=#00ff00][b]-1/f[/b][/color] mit[color=#00ff00][b] f[/b][/color] > 1 auf der [math]x[/math]-Achse anordnen.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind [color=#f1c232][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den Achsen und zum [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color].[br]Auf [b]3[/b] verschiedene Arten kann man die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] paarweise als Grundpunkte von [color=#ff0000][i][b]elliptischen[/b][/i][/color] oder orthogonal[br]als Grundpunkte von [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color] wählen.[br]In jedem Falle sind die [color=#ff7700][i][b]konfokalen Quartiken[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreis-Büschel-Paare[/b][/i][/color].[br]Zu jeder [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehört eine Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Wählt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] aus, und spiegelt man diesen an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] einer [br]Schar, so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color] auf einem Kreis: dem zugehörigen[color=#0000ff][i][b] Leitkreis[/b][/i][/color].[br][/size][size=85]Im Applet wurde der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] ausgewählt; die drei [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] gehören zur [color=#f1c232][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] [math]\sigma_y[/math] an der [math]y[/math]-Achse, [br]zur [color=#f1c232][i][b]Spiegelung [/b][/i][/color][math]\sigma_E[/math] am Einheitskreis, und zur [color=#f1c232][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] [math]\sigma_i=\sigma_x\circ\sigma_y\circ\sigma_E[/math] am imaginären Kreis.[br]Sie liegen in einem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] um [color=#00ff00][b]f[/b][/color], den 2.-ten Büschelpunkt [color=#980000][b]f#[/b][/color] findet man als Spiegelpunkt von[color=#00ff00][b] f [/b][/color][br]an den 3 [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color].[br]Zur Konstruktion ist es noch nützlich zu wissen, dass jeder der 3 [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] jeweils orthogonal zu den [color=#ff0000][i][b]Brennkreisen[/b][/i][/color] [br]des [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] liegen, zu welchem [color=#00ff00][b]f[/b][/color] nicht gehört. [br][br]Mit diesen Informationen über die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise [/b][/i][/color]kann man die [color=#ff7700][i][b]bizirkularen 2-teiligen Quartiken[/b][/i][/color] auf 3 Arten [br]als [i][b]Ortskurven[/b][/i] "konstruieren".[/size]

[size=85][color=#980000][i][b][size=100]Scheitel-Kreis-Konstruktionen[br][/size][/b][/i][/color][/size][size=85]Auch diese Konstruktionen sind auf 3 Arten möglich, nicht jede ist im Applet ausgeführt.[/size][size=85][br]Zu einer der genannten [color=#f1c232][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color] wähle man die [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Die Winkelhalbierenden-Kreise sind orthogonal zur [math]x[/math]-Achse.[br]Die Zuordnung der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] erfolgt wie in den vorangegangenen Beispielen: [br]man spiegle einen der [color=#ff0000][b][i]Brennkreis[/i][/b][/color]-Schnittpunkte mit der [math]x[/math]-Achse an einem zugehörigen [color=#999999][i][b]Scheitelkreis[/b][/i][/color] [br]und erhält einen [color=#ff0000][i][b]Brennkreis-Schnittpunkt[/b][/i][/color] für den anderen [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color].[br][br]Auch hier sind die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ohne reelle Berührpunkte nützlich für die Konstruktion [br]der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#38761D][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color].[br]In allen 3 Fällen werden die [math]x[/math]-achsensymmetrischen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] konstruiert. [br]Die konstruierten [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind dieselben, sie entstehen jedoch als Winkelhalbierende aus unterschiedlichen [br][color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color].[/size]