[math]\mathbb{R}^n[/math]Sea f : [a, b] [math]\subset[/math] [math]\mathbb{R}^n[/math] una curva con derivada distinta de cero. Sea A : [c, d] → [a, b][br]una función con derivada continua sobreyectiva tal que [math]A'\ne0[/math] ∀s ∈ [a, b]. Entonces la curva[br]g = f ◦ A: [c, d] → [math]\mathbb{R}^n[/math] se llama reparametrización de la curva f[br][br]La condición [math]A'\ne0[/math] nos conduce a [math]A'>0[/math] o [math]A'<0[/math]. Si [math]A'>0[/math] entonces A es una función [br]función creciente en [c,d] de modo que A(c) = a y A(c) = b y así los puntos inicial y final[br]de g coinciden con los respectivos de f.[br][br]como [math]g'\left(s\right)=A'\left(s\right)f'\left(A\left(s\right)\right)[/math] entonces f' y g' tienen la misma dirección y en este caso, entonces el camino g recorre la curva descrita por f en la misma dirección. En este caso g es una reparametrización que conserva la orientación. (reparametrización positiva ). Caso contrario donde [math]A'<0[/math], a es una función decreciente, que recorre en la dirección opuesta. (reparametrización negativa)[br]

sea[br] [math]\alpha:\left(0,1\right)\rightarrow\mathbb{R}^2[/math][br][math]\alpha\left(t\right)=\left(t,2t\right)\rightarrow\alpha'\left(t\right)=\left(1,2\right)[/math][br][br]observemos en las reparametrizaciones:[br][br][math]\delta\left(0,1\right)\rightarrow\mathbb{R}^2[/math][br][math]\delta\left(t\right)=\left(t^2,2t^2\right)\rightarrow\delta'\left(t\right)=\left(2t,4t\right)[/math][br][br][math]\beta:\left(-1,0\right)\rightarrow\mathbb{R}^2[/math][br][math]\beta\left(t\right)=\left(t+1,2t+2\right)\rightarrow\beta'\left(t\right)=\left(1,2\right)[/math][br][br][math]\zeta:\left(0,\frac{1}{2}\right)\rightarrow\mathbb{R}^2[/math][br][math]\zeta:\left(2t,4t\right)\rightarrow\zeta'\left(t\right)=\left(2,4\right)[/math][br][br] Como ya revisamos, f'(x) es la velocidad, podemos notar que no es la misma en todas las reparametrizaciones. Sabemos que existe h, que conecta a 2 funciones y al derivarla, obtenemos si aumenta o no. [br][br]Ej: h para [math]\alpha[/math] y [math]\beta[/math] = t+1, [math]h'\left(t\right)=1[/math] [math]\therefore[/math] no aumenta[br][br]Ej2: h para [math]\alpha[/math] y [math]\zeta[/math] = 2t, [math]h'\left(t\right)=2t[/math] [math]\therefore[/math] la velocidad aumenta 2t