Kegelschnitte dynamisch erkunden

H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW, Jul 14, 2021

Kegelschnitte mit GeoGebra 3D erkunden – genetisch, ganzheitlich, dynamisch, anschaulich. Da es unter heutigen Bedingungen kaum möglich sein dürfte, alle Aspekte im Unterricht zu behandeln, wird ein Basiswissen dadurch umrissen, dass Vertiefungen mit (*) markiert werden. Diese Version ist für den Einsatz auf Tablets mit Touchscreen optimiert (Stand Februar 2022), läuft natürlich problemlos auch auf PCs.

Table of Contents

  1. I. Kegel-Schnitte
    1. Definition Kegel
    2. Dynamischer Kegel-Schnitt 3D. Systematische Variation.
    3. (*) Dynamischer Kegel-Schnitt 3D Rot-Cyan-Brille
    4. (*) Wahre Größe eines Kegelschnitts 2D
    5. (*) Dandelinsche Kugeln
    6. (*) Dandelinsche Kugeln, Brennpunkte und Leitgeraden dynamisch
    7. (*) Mantellinien
    8. (*) Parabel und Brennpunkt 2D
    9. (*) Ellipse und Brennpunkt 2D
    10. (*) Kegel und Kreise in Sek I und Sek II
    11. Ganzheitliche Sicht (1)
  2. II. Abstände
    1. Abstand zu den Brennpunkten: Ellipse
    2. (*) Abstand zu den Brennpunkten: Hyperbel
    3. Abstand Brennpunkt - Leitlinie: Parabel
    4. (*) Abstand Brennpunkt - Leitlinie allgemein
    5. Ganzheitliche Sicht (2)
  3. III. Ortslinien
    1. Ortslinien-Konstruktion der Ellipse (Gärtner-Konstruktion)
    2. (*) Ortslinien-Konstruktion der Hyperbel
    3. (*) Ortslinien-Konstruktion der Parabel
    4. (*) Ortslinien-Konstruktion der Parabel in y-Richtung
    5. (*) Ortslinien-Konstruktion für beliebige Kegelschnitte
    6. (*) Ortslinien-Konstruktion der Ellipse mittels Leitkreis
    7. (*) Ortslinien-Konstruktion der Hyperbel mittels Leitkreis
    8. Ganzheitliche Sicht (3)
    9. (*) Historische mechanische Werkzeuge
  4. IV. Implizite Gleichungen
    1. Kreis-Gleichung in Mittelpunktform
    2. Ellipsen-Gleichung in Mittelpunktform
    3. Hyperbel-Gleichung in Mittelpunktform
    4. Parabel-Gleichung in Scheitelform
    5. A7 Allgemeine Scheitelgleichung
    6. (*) Historische Sicht: Sperrungsrechteck (Apollonius)
    7. (*) Allgemeine Kegelschnittgleichung
    8. Ganzheitliche Sicht (4)
  5. V. Parametrische Kurven
    1. Kreis als spezielle parametrische Kurve
    2. Ellipse als spezielle parametrische Kurve
    3. (*) Hyperbel als spezielle parametrische Kurve
    4. (*) Parabel als spezielle parametrische Kurve
    5. (*) Allgemeiner Kegelschnitt als parametrische Kurve
    6. (*) Herleitung der Parametrisierung mittels CAS
    7. Ganzheitliche Sicht (5)
  6. VI Zentralperspektive Bilder
    1. Grundsituation 3D
    2. Zentralperspektives Bild eines Kreises (a)
    3. Zentralperspektives Bild eines Kreises (b)
    4. Zentralperspektives Bild einer Parabel 1
    5. Zentralperspektives Bild einer Parabel 2
    6. Grundsituation 3D → 2D
  7. VII Anwendungen
    1. Anwendungen von Kegelschnitten
  8. Exkurs: Flatland
    1. Visualisierung: Kugel durchquert das Flächenland
    2. Kegel in Flatland
    3. Quadrat eintauchen
  9. Fazit
    1. Klassische Konstruktionen und moderne Werkzeuge
  10. Präsentation
    1. Vorträge: Kegelschnitte erkunden
  11. Zur PC Version
    1. PC Version
  12. Dank und Literatur
    1. Dank
    2. Literatur & Links

1.

I. Kegel-Schnitte

Hier werden die Kegelschnitte im originären Sinn dreidimensional als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel betrachtet. Die Ebene soll dabei [u]nicht[/u] durch die Spitze S verlaufen (es werden also keine uneigentlichen Fälle betrachtet). Der Neigungswinkel β der Ebene (der Winkel mit der Kegelachse) kann am Schieberegler schrittweise verändert werden, so dass eine systematische Variation erfolgt. Durch eine geeignete Abbildung kann das Schnittobjekt in die xy-Ebene (und damit bei GeoGebra in die 2D Grafik-Ansicht) transformiert werden, so dass da auch eine unverzerrte Betrachtung in 'wahrer Größe' möglich ist ("Kipp-Verfahren", Schupp S. 6)

  • 1. Definition Kegel
  • 2. Dynamischer Kegel-Schnitt 3D. Systematische Variation.
  • 3. (*) Dynamischer Kegel-Schnitt 3D Rot-Cyan-Brille
  • 4. (*) Wahre Größe eines Kegelschnitts 2D
  • 5. (*) Dandelinsche Kugeln
  • 6. (*) Dandelinsche Kugeln, Brennpunkte und Leitgeraden dynamisch
  • 7. (*) Mantellinien
  • 8. (*) Parabel und Brennpunkt 2D
  • 9. (*) Ellipse und Brennpunkt 2D
  • 10. (*) Kegel und Kreise in Sek I und Sek II
  • 11. Ganzheitliche Sicht (1)

1.1.

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1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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2.

II. Abstände

Hier können die Abstandseigenschaften [u]entdeckt[/u] werden. Dabei geht es zunächst bei Ellipse und Hyperbel um die beiden Brennpunkte. Es werden die Abstände d[sub]1[/sub] und d[sub]2[/sub] eines Punktes P zu den beiden Brennpunkten betrachtet. Für die Parabel finden wir (da nur ein Brennpunkt existiert), eine Formulierung mit dem Abstand d[sub]L[/sub] zur Leitlinie und d[sub]F[/sub] zum Brennpunkt. Mit Hilfe der numerischen Exzentrizität können wir dies dann sogar für alle Kegelschnitte verallgemeinern. Hier steht das Entdecken und Verifizieren im Vordergrund. Für eine algebraische Herleitung siehe die einschlägigen Lehrbücher über Kegelschnitte.

  • 1. Abstand zu den Brennpunkten: Ellipse
  • 2. (*) Abstand zu den Brennpunkten: Hyperbel
  • 3. Abstand Brennpunkt - Leitlinie: Parabel
  • 4. (*) Abstand Brennpunkt - Leitlinie allgemein
  • 5. Ganzheitliche Sicht (2)

2.1.

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2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

III. Ortslinien

Aus den Abstandseigenschaften ergeben sich Ortslinien-Konstruktionen. Es sind auch zahlreiche weitere Konstruktionen bekannt (z. B. Ellipsenzirkel, Parabelzirkel, Hyperbelzirkel, Fadenkonstruktionen), hier konzentrieren wir uns aber auf Konstruktionen, die sich aus den Abstandseigenschaften im vorigen Kapitel ergeben, ergänzt durch Leitkreis-Konstruktionen. Hier steht das Entdecken und Verifizieren im Vordergrund. Für eine algebraische Herleitung siehe die einschlägigen Lehrbücher über Kegelschnitte.

  • 1. Ortslinien-Konstruktion der Ellipse (Gärtner-Konstruktion)
  • 2. (*) Ortslinien-Konstruktion der Hyperbel
  • 3. (*) Ortslinien-Konstruktion der Parabel
  • 4. (*) Ortslinien-Konstruktion der Parabel in y-Richtung
  • 5. (*) Ortslinien-Konstruktion für beliebige Kegelschnitte
  • 6. (*) Ortslinien-Konstruktion der Ellipse mittels Leitkreis
  • 7. (*) Ortslinien-Konstruktion der Hyperbel mittels Leitkreis
  • 8. Ganzheitliche Sicht (3)
  • 9. (*) Historische mechanische Werkzeuge

3.1.

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3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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4.

IV. Implizite Gleichungen

Nach der raumgeometrischen Sicht und der planimetrischen Sicht erfolgt jetzt eine analytische, funktionale Betrachtung. Hier ist dann ein cartesisches xy-Koordinatensystem erforderlich (vorher nicht!). Darin werden algebraische Kurven durch implizite Gleichungen vom Grad 2 beschrieben. Dabei haben wir zwei typische Formen: die Mittelpunktform und die Scheitelform. Ellipse und Hyperbel haben zwei Brennpunkte F[sub]1[/sub] und F[sub]2[/sub] und damit einen Punkt M in der Mitte zwischen ihnen. Dies führt zur Mittelpunktform. Dabei wird untersucht, welche geometrische Rolle die zwei Parameter a und b spielen. Die Parabel hat nur einen Brennpunkt und daher keine Mittelpunktform, sondern eine sogenannte Scheitelform. Hier wird untersucht, welche geometrische Rolle der Parameter p spielt. Diese Scheitelform kann dann mit Hilfe der numerischen Exzentrizität und eines Korrektursummanden zu einer einheitlichen Gleichung für alle Kegelschnitte verallgemeinert werden. In allen Fällen wird die komplette Kurve gezeichnet, während beim Einsatz von Funktionen durch das erforderliche Wurzelziehen nur der obere oder untere Teil der Kurve gezeichnet wird. Hier steht das Entdecken und Verifizieren im Vordergrund. Für eine algebraische Herleitung siehe die einschlägigen Lehrbücher über Kegelschnitte.

  • 1. Kreis-Gleichung in Mittelpunktform
  • 2. Ellipsen-Gleichung in Mittelpunktform
  • 3. Hyperbel-Gleichung in Mittelpunktform
  • 4. Parabel-Gleichung in Scheitelform
  • 5. A7 Allgemeine Scheitelgleichung
  • 6. (*) Historische Sicht: Sperrungsrechteck (Apollonius)
  • 7. (*) Allgemeine Kegelschnittgleichung
  • 8. Ganzheitliche Sicht (4)

4.1.

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4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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5.

V. Parametrische Kurven

Zu den Kegelschnitten mit Gleichungen in Mittelpunktform werden Parametrisierungen mit Hilfe trigonometrischer Funktionen gegeben. Hierbei wird wieder die ganze Kurve gezeichnet. [i]Anmerkung: Mit Funktionen y = f(x) könnten zwangsläufig nur Teile des Kegelschnitts beschrieben werden. [/i] Für die Parabel in Scheitelform wird auch eine Parametrisierung angegeben, die dann verallgemeinert werden kann. Hier steht das Entdecken und Verifizieren im Vordergrund. Für eine algebraische Herleitung siehe die einschlägigen Lehrbücher über Kegelschnitte.

  • 1. Kreis als spezielle parametrische Kurve
  • 2. Ellipse als spezielle parametrische Kurve
  • 3. (*) Hyperbel als spezielle parametrische Kurve
  • 4. (*) Parabel als spezielle parametrische Kurve
  • 5. (*) Allgemeiner Kegelschnitt als parametrische Kurve
  • 6. (*) Herleitung der Parametrisierung mittels CAS
  • 7. Ganzheitliche Sicht (5)

5.1.

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5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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6.

VI Zentralperspektive Bilder

In den ersten beiden Lernumgebungen geht es hier darum, zu sehen und zu verstehen, dass das zentralperspektive Bild eines Kreises ein Kegelschnitt ist. In der dritten und vierten Lernumgebung geht es darum, zu sehen und zu verstehen, dass das zentralperspektive Bild einer Parabel keine Parabel mehr ist, sondern je nach Lage der Parabel eine Ellipse oder eine Hyperbel (auch wenn die Abweichungen von der Parabelgestalt ggf. nur gering sind). In der fünften Lernumgebung geht es darum, wie man diese räumlichen Konstruktionen auch eben durchführen kann.

  • 1. Grundsituation 3D
  • 2. Zentralperspektives Bild eines Kreises (a)
  • 3. Zentralperspektives Bild eines Kreises (b)
  • 4. Zentralperspektives Bild einer Parabel 1
  • 5. Zentralperspektives Bild einer Parabel 2
  • 6. Grundsituation 3D → 2D

6.1.

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6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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7.

VII Anwendungen

Kegelschnitte spielten bei klassischen mathematischen Problemen der Mathematik und in Astronomie und Physik seit zwei Jahrtausenden bis in heutige technische Anwendungen eine wichtige Rolle. Dies soll hier kurz angesprochen werden.

  • 1. Anwendungen von Kegelschnitten

7.1.

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8.

Exkurs: Flatland

Im Roman Flächenland (Flatland) von E. A. Abbott wandert eine Kugel durch das Flächenland (Kapitel 16). Wir erhalten damit [b]Kugelschnitte[/b]. Wie dies im Flächenland wahrgenommen wird, wird in einem Applet visualisiert. In ähnlicher Weise wird das dann auch für einen Kegel visualisiert. Dann sehen wir Kegelschnitte aus Flatland-Sicht, diesmal als Schnitt eines wandernden Kegels mit einer festen Ebene.

  • 1. Visualisierung: Kugel durchquert das Flächenland
  • 2. Kegel in Flatland
  • 3. Quadrat eintauchen

8.1.

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8.2.

–

8.3.

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9.

Fazit

  • 1. Klassische Konstruktionen und moderne Werkzeuge

9.1.

–

10.

Präsentation

  • 1. Vorträge: Kegelschnitte erkunden

10.1.

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11.

Zur PC Version

  • 1. PC Version

11.1.

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12.

Dank und Literatur

  • 1. Dank
  • 2. Literatur & Links

12.1.

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12.2.

–

Information