[color=#333333]Neste livro do GeoGebra abordamos o [b]p[/b][/color][b]roduto escalar (ou interno) de vetores[/b] com o intuito de criar material que auxilie o estudo e compreensão dessa matéria (atualmente presente na disciplina de Matemática A do 11º ano do Ensino Secundário). Em particular, pretendemos que sirva para acompanhar e elucidar as construções teóricas e práticas que são realizadas nos manuais escolares e/ou nas salas de aula.[br][br] Começamos então este livro com o capítulo [b]Introdução[/b], onde expomos o trabalho desenvolvido no livro e o contextualizamos, deixando também:[br][br][list][*]alguns links (que temos que deixar aqui apenas como endereços uma vez que, não estando estas páginas com as certificações de segurança necessárias, não os conseguimos introduzir utilizando a ferramenta do GeoGebra adequada para links):[/*][/list][list=1][*]DIREÇÃO-GERAL DA EDUCAÇÃO: https://www.dge.mec.pt/[/*][*]DIREÇÃO-GERAL DA EDUCAÇÃO - APRENDIZAGENS ESSENCIAIS: http://www.dge.mec.pt/aprendizagens-essenciais-0[/*][*]DIREÇÃO-GERAL DA EDUCAÇÃO - APRENDIZAGENS ESSENCIAIS - ENSINO SECUNDÁRIO: http://www.dge.mec.pt/aprendizagens-essenciais-ensino-secundario[br][/*][*]DIREÇÃO-GERAL DA EDUCAÇÃO - APRENDIZAGENS ESSENCIAIS - MATEMÁTICA A DO 11º ANO: http://www.dge.mec.pt/sites/default/files/Curriculo/Aprendizagens_Essenciais/11_matematica_a.pdf[/*][/list][list][*]vídeos de aulas online sobre produto escalar (um deles temos que deixar aqui apenas como endereço uma vez que, não tendo permissão para apresentar esse vídeo diretamente, não o conseguimos introduzir utilizando a ferramenta adequada do GeoGebra para vídeos:[/*][/list][list=1][*]Matemática A - 11.º Ano - Produto escalar: perpendicularidade de vetores; ângulo entre dois vetores.| Aula 20| 27 min| 29 Jan. 2021 - ANO LETIVO 2020/2021 - Módulo de Matemática A do 11.º Ano[br]O projeto #ESTUDOEMCASA destina-se a alunos e professores do Ensino Secundário, que desejem recorrer a esta ferramenta no seu processo de ensino-aprendizagem.[br]O projeto nasce de uma parceria entre o Ministério da Educação e a RTP.[br][/*][*]O produto escalar de dois vetores e o ângulo por eles formado - Khan Academy em português (11.º ano)[br][/*][/list][list][*]uma imagem e [/*][*]dois ficheiros em formato PDF,[/*][/list][br]cujos conteúdos são todos relacionados com os tópicos presentes neste trabalho. [br][br] Nos seguintes capítulos expomos a matéria e aproveitamos as potencialidades do GeoGebra para visualizar geometricamente várias situações da mesma, tentando elucidá-las, torná-las ainda mais atrativas e estimular a reflexão e a curiosidade para futuras explorações.[br]

[justify]Observamos que é importante ter presente e sabida a matéria relacionada com segmentos orientados e vetores anteriormente estudada (nomeadamente, no 10.º ano do ensino secundário).[br]Aproveitamos para relembrar que, quaisquer dois vetores admitem (sempre) dois representantes (isto é, dois segmentos orientados) complanares. Para vermos isso temos de considerar dois casos:[br]1) o caso em que um dos vetores é nulo e[br]2) o caso em que ambos os vetores são não nulos.[br]O caso 1) é trivial e por isso apenas nos debruçamos sobre o caso 2). Sejam [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] dois vetores não nulos. Basta considerarmos um ponto arbitrário, [math]O[/math], e dois pontos [math]P[/math] e [math]Q[/math] tais que [math]\vec{OP}=\vec{u}[/math] e [math]\vec{OQ}=\vec{v}[/math], para termos o pretendido. Mais, as relações atrás podem ainda ser expressas da seguinte maneira: [math]P=O+\vec{u}[/math] e [math]Q=O+\vec{v}[/math].[br]Relembramos também que [b]projeção ortogonal de um ponto [/b][math]P[/math][b] sobre uma reta [/b][math]r[/math]é o ponto de interseção de [math]r[/math] com a reta que passa em [math]P[/math] e é perpendicular a [math]r[/math] (isto é, é o [b]pé da perpendicular do ponto [/b][math]P[/math][b] sobre a reta [/b][math]r[/math]).[br][br]Vamos então abordar o que nos propusemos fazer neste capítulo.[br]Suponhamos fixada uma unidade de medida de comprimento e sejam [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] dois vetores não nulos.[br]Consideremos um ponto arbitrário, [math]O[/math], dois pontos [math]P[/math] e [math]Q[/math] tais que [math]\vec{OP}=\vec{u}[/math] e [math]\vec{OQ}=\vec{v}[/math], e o ponto [math]Q'[/math], a projeção ortogonal de [math]Q[/math] na reta [math]OP[/math].[br]O [b]produto escalar[/b] (ou [b]interno[/b])[b] dos vetores [/b][math]\vec{u}[/math][b] e [/b][math]\vec{v}[/math], que vamos representar por [math]\vec{u}\cdot\vec{v}[/math], é o número [math]\overline{OP}[/math][math]\times[/math][math]\overline{OQ'}[/math] ou o número [math]-[/math][math]\overline{OP}[/math][math]\times[/math][math]\overline{OQ'}[/math] (respetivamente), consoante os vetores [math]\vec{OP}[/math] e [math]\vec{OQ'}[/math] tenham o mesmo sentido ou sentidos contrários (respetivamente).[br]No caso de algum dos vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] ser o vetor nulo, o produto escalar é zero.[br]Notamos que, no caso do vetor [math]\vec{OQ'}[/math] ser o vetor nulo, tem-se que [math]\overline{OQ'}=0[/math] e, portanto [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=0[/math]. Observamos também que, neste caso, uma vez que o vetor [math]\vec{OQ}[/math] é não nulo isso significa que os vetores [math]\vec{OP}[/math] e [math]\vec{OQ}[/math] são perpendiculares (por definição de projeção ortogonal do ponto [math]Q[/math] sobre a reta [math]OP[/math]).[br][br]Observamos que o termo "escalar" indica que o resultado desta operação (produto) entre vetores não é um vetor mas sim um número (escalar).[br][br][br]Na apliqueta abaixo temos uma representação geométrica onde podemos observar diferentes casos do que falámos atrás.[br]Arrastando os pontos O, P e Q podemos observar geometricamente diferentes vetores e (seus representantes) segmentos orientados que podemos obter. Podemos também observar a projeção ortogonal e, geometricamente, comparar os comprimentos dos segmentos de reta cujos extremos estão relacionados com as construções mencionadas no texto anterior.[/justify]

[justify]Consideremos dois vetores não nulos [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math]. O [b]ângulo entre os vetores [/b][math]\vec{u}[/math][b] e [/b][math]\vec{v}[/math]é qualquer ângulo convexo, nulo ou raso, [math]AOB[/math], em que [math]A[/math] e [math]B[/math] são pontos tais que [math]\vec{OA}=\vec{u}[/math] e [math]\vec{OB}=\vec{v}[/math]. A [b]amplitude desse ângulo[/b] também se designa por ângulo formado pelos vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] e representa-se por[br][math](\vec{u}[/math] [math]\widehat[/math] [math]\vec{v})[/math].[br][br]Importante: para identificar o ângulo entre dois vetores devemos considerar representantes desses vetores com a mesma origem.[br][br]O ângulo entre dois vetores não é um ângulo orientado, isto é, ([math]\vec{u}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{v}[/math]) = ([math]\vec{v}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{u}[/math]).[br]A amplitude do ângulo entre dois vetores varia entre 0º (0 rad) - quando os vetores são colineares e têm o mesmo sentido - e 180º e ([math]\Pi[/math] rad) - quando os vetores são colineares e têm sentidos contrários.[br][br]Observação: O caso em que (pelo menos) um dos vetores é nulo ficou por tratar.[br][br]Na primeira das duas próximas apliquetas (Ângulo entre dois vetores não nulos V01), aparecem sempre dois ângulos relacionados com os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] mas, pelo que acabámos de ver, apenas um deles é o ângulo entre os dois vetores não nulos [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math], ([math]\vec{u}[/math] [math]\hat{}[/math] [math]\vec{v}[/math]), e será sempre, para cada caso, o menor ângulo dos dois, pois apenas esse é nulo, convexo ou raso. Nesta apliqueta podemos arrastar qualquer dos extremos dos dois vetores (devendo evitar tornar qualquer dos vetores no vetor nulo - apenas porque essa situação não é representativa da matéria aqui abordada) para ver casos diferentes de ângulos entre os dois (tal como referido anteriormente, o ângulo entre os dois vetores será o menor dos dois ângulos que aparecem da apliqueta - garantindo assim que a sua amplitude está ente 0º e 180º).[br]Na segunda apliqueta (Ângulo entre dois vetores não nulos V02), temos controlo sobre um seletor para vermos diferentes casos de ângulos entre dois vetores não nulos (notar que, aqui, os vetores têm as mesmas normas). Observamos que, controlando os seletores relacionados com os dois ângulos e escolhendo exatamente o mesmo valor para ambos, acabamos por obter "casos iguais" no sentido em que não temos nenhum referencial estabelecido e os ângulos entre dois vetores não são orientados.[/justify]

[justify][/justify][justify][/justify][justify]Sejam [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] dois vetores não nulos. Então [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=[/math] [math]\parallel\vec{u}\parallel[/math][math]\times[/math][math]\parallel\vec{v}\parallel[/math][math]\times[/math]([math]\vec{u}[/math] [math]\hat{} \vec{v}[/math]).[br][br]Vamos demonstrar este resultado.[br]Sejam [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] dois vetores não nulos e consideremos agora:[br][/justify][list][*][math]O[/math] um ponto (fixo) qualquer,[/*][*][math]P[/math] e [math]Q[/math] pontos tais que [math]\vec{OP}=\vec{u}[/math] e [math]\vec{OQ}=\vec{v}[/math] e[/*][*][math]Q'[/math] a projeção ortogonal de [math]Q[/math] na reta [math]OP[/math].[/*][/list]Para demonstrarmos o pretendido temos de analisar separadamente os seguintes casos:[br][list=1][*]([math]\vec{u}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{v}[/math])=0º[/*][*]([math]\vec{u}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{v}[/math])=180º[/*][*]([math]\vec{u}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{v}[/math])=90º[/*][*]0º<([math]\vec{u}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{v}[/math])<90º[/*][*]90º<([math]\vec{u}[/math] [math]\hat[/math] [math]\vec{v}[/math])<180º[/*][/list][br]Caso 1. Aqui os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] são colineares e têm o mesmo sentido, logo, [math]\vec{OQ'}[/math] e [math]\vec{OP}[/math] também (são colineares - óbvio pela definição de [math]Q'[/math] e, por isso, em futuros casos não sentiremos a necessidade de o explicitar) têm o mesmo sentido, pois [math]Q'[/math] coincide com [math]Q[/math]. Então, [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\overline{OP}\times\overline{OQ'}[/math].[br]Por outro lado temos que:[br][list][*][math]cos[/math]([math]\vec{u}[/math][math]\hat{}[/math][math]\vec{v}[/math])[math]=cos(0º)=1[/math],[/*][*][math]\overline{OP}=\parallel\vec{u}\parallel[/math] e[/*][*][math]\overline{OQ´}=\overline{OQ}=\parallel\vec{v}\parallel[/math][br][/*][/list]logo, temos o pretendido.

[justify][/justify][justify]Caso 2. Aqui os vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] são colineares e têm sentidos contrários, logo, [math]\vec{OQ'}[/math] e [math]\vec{OP}[/math] também têm sentidos contrários, pois [math]Q'[/math] coincide com [math]Q[/math]. Então, [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=-\overline{OP}\times\overline{OQ'}[/math].[br]Por outro lado temos que:[br][/justify][list][*][math]cos[/math]([math]\vec{u}[/math][math]\hat{}[/math][math]\vec{v}[/math])[math]=cos(180º)=-1[/math],[/*][*][math]\overline{OP}=\parallel\vec{u}\parallel[/math] e[/*][*][math]\overline{OQ´}=\overline{OQ}=\parallel\vec{v}\parallel[/math],[/*][/list]logo, temos o pretendido.

[justify]Caso 3. Neste caso já vimos que [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=0[/math] (caso em que [math]\vec{OQ´}[/math] é o vetor nulo - ver capítulo Produto escalar de vetores) e, como [math]cos[/math]([math]\vec{u}[/math][math]\hat{}[/math][math]\vec{v}[/math])[math]=cos(90º)=0[/math], temos o pretendido.[/justify]

[justify][/justify][justify]Caso 4. Neste caso temos que [math]\overline{OP}[/math] e [math]\overline{OQ'}[/math] têm o mesmo sentido logo [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\overline{OP}\times\overline{OQ'}[/math].[br]Temos (que os ângulos [math]POQ[/math] e [math]Q'OQ[/math] são iguais e) que o triângulo [math]\left[Q'OQ\right][/math] é um triângulo retângulo em [math]Q'[/math] e, então, [math]cos(Q'\hat{O}Q)[/math][math]=\frac{\overline{OQ'}}{\overline{OQ}}[/math] logo [math]\overline{OQ'} = \overline{OQ} \times cos(Q'\hat{O}Q)[/math] e, portanto, [math]\overline{OP} \times \overline{OQ'} = \overline{OP} \times \overline{OQ} \times cos(Q'\hat{O}Q)[/math].[br]Por outro lado temos que:[/justify][list][*](como já tínhamos mencionado) [math]Q'\hat{O}Q=P\hat{O}Q=[/math]( [math]\vec{u}[/math] [math]\hat{}[/math] [math]\vec{v}[/math] ) logo [math]cos[/math]([math]\vec{u}[/math][math]\hat{}[/math][math]\vec{v}[/math])[math]=cos(Q'\hat{O}Q)[/math],[/*][*][math]\overline{OP}=\parallel\vec{u}\parallel[/math] e[/*][*][math]\overline{OQ}=\parallel\vec{v}\parallel[/math],[/*][/list]logo, temos o pretendido.

[justify][/justify][justify]Caso 5. Neste caso temos que [math]\overline{OP}[/math] e [math]\overline{OQ'}[/math] têm sentidos contrários logo [math]\vec{u}\cdot\vec{v}=-\overline{OP}\times\overline{OQ'}[/math] . Temos que os ângulos [math]POQ[/math] e [math]Q'OQ[/math] são suplementares e que o triângulo [math]\left[Q'OQ\right][/math] é um triângulo retângulo em [math]Q'[/math].[br]Então [math]cos(Q'\hat{O}Q)[/math][math]=\frac{\overline{OQ'}}{\overline{OQ}}[/math], logo [math]\overline{OQ'} = \overline{OQ} \times cos(Q'\hat{O}Q)[/math], daí [math]\overline{OQ'} = \overline{OQ} \times cos(180º \minus P\hat{O}Q)[/math] e, portanto, [math]\overline{OQ'} = \minus \overline{OQ} \times cos(P\hat{O}Q)[/math].[br]Por outro lado temos que:[/justify][list][*](como já mencionado) [math]Q'\hat{O}Q=[/math]([math]180º\minus[/math]([math]P\hat{O}Q[/math])) e ([math]\vec{u}[/math][math]\hat{}[/math][math]\vec{v}[/math])=[math]P\hat{O}Q[/math] logo [math]cos[/math]([math]\vec{u}[/math][math]\hat{}[/math][math]\vec{v}[/math])=[math]cos[/math]([math]P\hat{O}Q[/math])[/*][*][math]\overline{OP}=\parallel\vec{u}\parallel[/math] e[/*][*][math]\overline{OQ}=\parallel\vec{v}\parallel[/math],[/*][/list]logo, temos o pretendido.

A demonstração está terminada.

Vetores perpendiculares[br][br]Diz-se que [b]dois vetores [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] são perpendiculares[/b], e escrevemos [math]\vec{u}\bot\vec{v}[/math][b], [/b]se algum deles é o vetor nulo ou se, nenhum dos vetores é nulo, o ângulo entre os dois vetores é reto.

[b]Propriedades do produto escalar[/b][br][br][b]Propriedade 1[/b][br]Dado um vetor [math]\vec{u}[/math] temos:[br][math]$\vec{u}\cdot\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel^2$[/math].[br][br][b]Demonstração[/b][br]Consideremos um vetor [math]$\vec{u}$[/math].[br]Se [math]$\vec{u}=\vec{0}$[/math] então [math]$\vec{u}\cdot\vec{u}=0$[/math] e [math]$\parallel\vec{u}\parallel^2=0$[/math] e temos o pretendido.[br]Se [math]$\vec{u}\neq\vec{0}$[/math] então [math]$\vec{u}\cdot\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel\times\parallel\vec{u}\parallel\times\cos(\hat{\vec{u}\vec{u}})=\parallel\vec{u}\parallel^2\times\cos(0^\circ)=\parallel\vec{u}\parallel^2\times1=\parallel\vec{u}\parallel^2$[/math].[br]e temos o pretendido demonstrado.[br][br][b]Propriedade 2[/b][br]Dados vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] temos:[br][math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$[/math] (propriedade comutativa).[br][br][b]Demonstração[/b][br]Consideremos dois vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math].[br]Se algum dos vetores for o vetor nulo então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}=0$[/math] e temos o pretendido.[br]Se nenhum dos vetores for o vetor nulo então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=\parallel\vec{u}\parallel\times\parallel\vec{v}\parallel\times\cos(\hat{\vec{u}\vec{v}})=\parallel\vec{v}\parallel\times\parallel\vec{u}\parallel\times\cos(\hat{\vec{v}\vec{u}})=\vec{v}\cdot\vec{u}$[/math] [br]e temos o pretendido demonstrado.[br][br][b]Propriedade 3[/b][br]Dados vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] e dado um número real [math]$\lambda$[/math] temos:[br][math]$(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$[/math] (propriedade associativa mista).[br]Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta.[br][br][b]Demonstração:[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] vetores e seja [math]$\lambda$[/math] um número real.[br]Então, [math]$(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$[/math].[br]Vamos fazer uma demonstração geométrica deste resultado no caso de [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] serem vetores não nulos (se algum dos vetores for o vetor nulo, a demonstração é trivial).[br]Consideremos vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] tais que [math]$0^\circ<\hat{\vec{u}\vec{v}}<90^\circ$[/math] e seja [math]$\lambda>0$[/math].

[br]Fixado um ponto [math]$O$[/math], sejam [math]$P$[/math], [math]$Q$[/math] e [math]$R$[/math] pontos tais que [math]$\vec{OP}=\vec{u}$[/math], [math]$\vec{OQ}=\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{OR}=\lambda\vec{u}$[/math].[br]Designemos por [math]$Q'$[/math] a projeção ortogonal de [math]$Q$[/math] sobre [math]$OP$[/math].[br]Dado que [math]$\lambda$[/math] é um número positivo, [math]$R$[/math] pertence à semirreta [math]$\dot{O}P$[/math].[br]A projeção ortogonal de [math]$Q$[/math] sobre [math]$OP$[/math] também pertence à semirreta [math]$\dot{O}P$[/math] (caso contrário, o triângulo [math]$[QOQ']$[/math] seria um triângulo retângulo com um ângulo obtuso, pois o ângulo [math]$QOQ'$[/math] seria suplementar do ângulo agudo [math]$POQ$[/math]).[br]Portanto, os vetores [math]$\vec{OR}$[/math] e [math]$\vec{OQ'}$[/math] têm o mesmo sentido e, por definição de produto escalar, tem-se:[br][math]$(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\overline{OR}\times\overline{OQ'}=(\lambda\overline{OP})\times\overline{OQ'}=\lambda(\overline{OP}\times\overline{OQ'})=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$[/math].[br][br]As demonstrações no caso de o ângulo dos vetores não ser agudo e no caso de [math]$\lambda$[/math] ser um número negativo ou zero fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes.[br]Temos o pretendido demonstrado.

[b]Propriedade 4[/b][br]Dados vetores [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math] temos:[br][math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math] (propriedade distributiva).[br]Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta.[br][br][b]Demonstração:[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math] vetores.[br]Então [math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math].[br]Se algum dos vetores é o vetor nulo, a demonstração é trivial.[br]Consideremos, agora, dois casos em que nenhum dos vetores é o vetor nulo.[br][br]1.° caso: os ângulos [math]$(\hat{\vec{w}\vec{u}})$[/math], [math]$(\hat{\vec{w}\vec{v}})$[/math] e [math]$(\hat{\vec{w}(\vec{u}+\vec{v})})$[/math] são agudos.[br]Dados os vetores [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math] fixemos um ponto [math]$O$[/math] e sejam [math]$P$[/math], [math]$Q$[/math], [math]$R$[/math] e [math]$S$[/math] pontos tais que [math]$\overline{OP}=\vec{w}$[/math], [math]$\overline{OQ}=\vec{u}$[/math], [math]$\overline{OR}=\vec{v}$[/math] e [math]$\overline{OS}=\vec{u}+\vec{v}$[/math].[br]Designemos por [math]$Q'$[/math], por [math]$R'$[/math] e por [math]$S'$[/math] as projeções ortogonais, respetivamente, de [math]$Q$[/math], de [math]$R$[/math] e de [math]$S$[/math] sobre [math]$OP$[/math].

Então,[br][list][*][math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\overline{OP}\times\overline{OS'}$[/math] e[/*][*][math]$\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}=\overline{OP}\times\overline{OQ'}+\overline{OP}\times\overline{OR'}=\overline{OP}\times(\overline{OQ'}+\overline{OR'})$[/math][br][/*][/list]Ora, dado que os triângulos [math]$[OQQ']$[/math] e [math]$[RST]$[/math] são geometricamente iguais, tem-se que [math]$\overline{OQ'}=\overline{R'S'}$[/math] e, portanto, [math]$\overline{OS'}=\overline{OR'}+\overline{R'S'}=\overline{OQ'}+\overline{OR'}$[/math].[br]Então, [math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math].[br][br][br]2º caso: [math]$(\hat{\vec{w}\vec{u}})$[/math] é um ângulo agudo e [math]$(\hat{\vec{w}\vec{v}})$[/math] e [math]$(\hat{\vec{w}(\vec{u}+\vec{c})})$[/math] são ângulos obtusos.[br]Dados os vetores [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math], fixemos um ponto [math]$O$[/math] e sejam [math]$P$[/math], [math]$Q$[/math], [math]$R$[/math] e [math]$S$[/math] pontos tais que [math]$\overline{OP}=\vec{w}$[/math], [math]$\overline{OQ}=\vec{u}$[/math], [math]$\overline{OR}=\vec{v}$[/math] e [math]$\overline{OS}=\vec{u}+\vec{v}$[/math].[br]Designemos por [math]$Q'$[/math], por [math]$R'$[/math] e por [math]$S'$[/math] as projeções ortogonais, respetivamente, de [math]$Q$[/math], de [math]$R$[/math] e de [math]$S$[/math] sobre [math]$OP$[/math].

Então,[br][list][*][math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=-\overline{OP}\times\overline{OS'}$[/math] e[/*][*][math]$\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}=\overline{OP}\times\overline{OQ'}-\overline{OP}\times\overline{OR'}=\overline{OP}\times(\overline{OQ'}-\overline{OR'})$[/math][/*][/list]Ora, dado que os triângulos [math]$[OQQ']$[/math] e [math]$[RST]$[/math] são geometricamente iguais, tem-se que [math]$\overline{OQ'}=\overline{R'S'}$[/math] e, portanto, [math]$\overline{OS'}=\overline{OR'}-\overline{R'S'}=\overline{OR'}+\overline{OQ'}$[/math].[br]Então, [math]$-\overline{OS'}=\overline{OQ'}-\overline{OR'}$[/math] e, finalmente, [math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math].[br]Temos o pretendido demonstrado.[br][br]As visualizações noutras situações fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes.

[b]Cálculo do produto escalar a partir das coordenadas dos vetores[/b][br][br]Vamos ver como o produto escalar de vetores pode ser expresso em termos de coordenadas.[br]Para isso necessitamos de fixar um referencial ortonormado no plano, [math]$xOy$[/math].[br][br][b]Proposição[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}(u_1,u_2)$[/math] e [math]$\vec{v}(v_1,v_2)$[/math] dois vetores do plano.[br]Então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1\times v_1+u_2\times v_2$[/math].[br][br][b]Demonstração[/b][br]Em primeiro lugar, é imediato concluir que:[br][list][*][math]$\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}=1$[/math] pois [math]$\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}=\parallel\vec{e_1}\parallel^2$[/math] e [math]$\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}=1$[/math] pois [math]$\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}=\parallel\vec{e_2}\parallel^2$[/math];[/*][*][math]$\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}=0$[/math], pois [math]$\vec{e_1}\bot\vec{e_2}$[/math].[/*][/list]Então[br][math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1\vec{e_1}+u_2\vec{e_2})\cdot(v_1\vec{e_1}+v_2\vec{e_2})=$[/math][br][math]$=(u_1\vec{e_1})\cdot(v_1\vec{e_1})+(u_1\vec{e_1})\cdot(v_2\vec{e_2})+(u_2\vec{e_2})\cdot(v_1\vec{e_1})+(u_2\vec{e_2})\cdot(v_2\vec{e_2})=$[/math][br][math]$=u_1v_1(\vec{e_1}\cdot\vec{e_1})+u_1v_2(\vec{e_1}\cdot\vec{e_2})+u_2v_1(\vec{e_2}\cdot\vec{e_1})+u_2v_2(\vec{e_2}\cdot\vec{e_2})=$[/math][br][math]$=u_1v_1\times 1+u_1v_2\times 0+u_2v_1\times 0+u_2v_2\times 1=$[/math][br][math]$=u_1v_1+u_2v_2$[/math][br]Temos o pretendido demonstrado.[br][br][br]Se fixarmos um referencial ortonormado no espaço, [math]$Oxyz$[/math], de modo análogo se reconhece que:[br][br][b]Proposição[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}(u_1,u_2,u_3)$[/math] e [math]$\vec{v}(v_1,v_2,v_3)$[/math] dois vetores do espaço.[br]Então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1\times v_1+u_2\times v_2+u_3\times v_3$[/math].