面積と積分

Bunryu Kamimura, Oct 11, 2016

このブックの解説はこちら⇒[b]【面積と積分】[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/circleintegral.htm[/url][/b] 円の面積の出し方 積分と微分の関係 など

Table of Contents

  1. 面積の求め方
    1. 積分と面積
    2. 面積の求め方
    3. 面積の出し方２
    4. リーマン積分とルベーグ積分
    5. 区分求積法（二つの方法）
    6. cosxの長さ
    7. 道路の面積
    8. 道路をどのように造るか
    9. クロソイド曲線
    10. クロソイド曲線の描画
  2. 円の面積の求め方
    1. 球の体積の積分
    2. 円の面積・・・置換法の意味
    3. 円の面積２
    4. ループの面積
    5. ガウスグリーンの定理
    6. 曲線の長さ
    7. 扇形の面積
  3. sinの微分
    1. （sinθ）’＝cosθ
    2. sinの微分
    3. 加法定理を導く
  4. いろいろな原始関数の求め方
    1. 原始関数の求め方
    2. 重力加速度運動

1.

面積の求め方

図形の面積を積分を使って求めると・・・

  • 1. 積分と面積
  • 2. 面積の求め方
  • 3. 面積の出し方２
  • 4. リーマン積分とルベーグ積分
  • 5. 区分求積法（二つの方法）
  • 6. cosxの長さ
  • 7. 道路の面積
  • 8. 道路をどのように造るか
  • 9. クロソイド曲線
  • 10. クロソイド曲線の描画

1.1.

積分と面積

このことから、[math]F(x)=∫f(x)dx[/math]と表わすことができます。[br]つまり、原始関数が分かれば面積を求めることができるわけです。
この曲線の面積を求めるために、面積を表す関数をＦ(ｘ)とします。すると・・・
接線の傾き（＝変化率）が導関数だった。[br]これを逆に見ると、面積になっていることが驚きだ。[br]　関数→（変化率）→導関数[br]　原始関数←（面積）←関数[br]つまり、面積と変化率は密接に関係していることになる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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2.

円の面積の求め方

積分と微分は互いに逆の操作になっている。 球の体積を積分で求めることは簡単なのに、 円の面積を求めることは難しい。 どうしたら円の面積を求めることができるか考えてみよう。

  • 1. 球の体積の積分
  • 2. 円の面積・・・置換法の意味
  • 3. 円の面積２
  • 4. ループの面積
  • 5. ガウスグリーンの定理
  • 6. 曲線の長さ
  • 7. 扇形の面積

2.1.

球の体積の積分

積分ではスライスした円柱を積み上げる。円柱の体積＝半径×半径×π×ｄｘだから簡単に求めることができる。図は内側の体積だが、これを外側でも求めた場合にも一致する。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

sinの微分

微分の式に当てはめて、加法定理を使えば、 sinθの微分はcosθとなる。 その意味は何か、図で説明してみよう。

  • 1. （sinθ）’＝cosθ
  • 2. sinの微分
  • 3. 加法定理を導く

3.1.

（sinθ）’＝cosθ

両辺をｄθ（FGの弧の長さ）で割ると、sinの微分になる。加法定理を使わなくても図でわかる。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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4.

いろいろな原始関数の求め方

ジオジェブラには微分と積分の関数がついています。 Integral（関数）で原始関数を求めることができます。 いろいろ試してみましょう。

  • 1. 原始関数の求め方
  • 2. 重力加速度運動

4.1.

原始関数の求め方

– Bunryu Kamimura

4.2.

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