Traçar a perpendicular a um ponto [math]C[/math] contido no segmento de reta [math]\overline{AB}[/math]

1. Construa um círculo de centro [math]C[/math] e raio qualquer[br][list][*]no applet abaixo, utilizamos o raio [math]\frac{\overline{AB}}{8}[/math] .[/*][/list]2. Os pontos de interseção do círculo com o segmento [math]\overline{AB}[/math] serão os pontos [math]D[/math] e [math]E[/math].[br][br]3. A partir de [math]D[/math] e [math]E[/math], traçamos mais dois círculos, de raio maior que a metade de [math]\overline{DE}[/math]. [br][list][*]no applet abaixo, utilizamos o raio [math]\frac{\overline{DE}+1}{2}[/math].[/*][/list][br]4. Os pontos de interseção desses dois círculos construídos serão os pontos [math]F[/math] e [math]G[/math].[br][br]5. Ao ligar [math]F[/math] e [math]G[/math] encontramos a reta [math]s[/math], perpendicular a [math]\overline{AB}[/math] que passa por [math]C[/math].[br]

Como são raios de círculos de mesmo raio, temos que [math]\overline{DF}=\overline{DG}=\overline{EF}=\overline{EG}[/math].[br][br]Portanto temos que os triângulos [math]\Delta DEF[/math] e [math]\Delta DEG[/math] são isósceles, assim, seus ângulos da base são congruentes:[br][br][center][math]\Delta DEF[/math] isósceles [math]\rightarrow[/math] [math]D\widehat{E}F[/math][math]=[/math][math]E\widehat{D}F[/math][br][math]\Delta DEG[/math] isósceles [math]\rightarrow[/math] [math]D\widehat{E}G[/math][math]=[/math][math]E\widehat{D}G[/math][/center]Pelo critério LLL, temos que [math]\Delta DFG=\Delta EFG[/math] e, por consequência temos que os seguintes ângulos têm a mesma medida:[br][br][center][math]D\widehat{F}G = E\widehat{F}G[/math][br]e[br][math]D\widehat{G}F = E\widehat{G}F[/math][/center]Com essas informações e pelo critério ALA, temos que os seguintes triângulos são congruentes:[br][br][center][math]\Delta CDF=\Delta CDG=\Delta CEF=\Delta CEG[/math][/center]Concluímos então que os segmentos [math]\overline{FG}[/math] e [math]\overline{DE}[/math] são perpendiculares entre si, pois:[br][br][center][math]D\widehat{C}F[/math][math]=[/math][math]D\widehat{C}G[/math][math]=[/math][math]E\widehat{C}F[/math][math]=[/math][math]E\widehat{C}G[/math][math]=[/math][math]90º[/math][/center]Sendo assim, a reta [math]s[/math] ([math]\overline{FG}[/math]) é a perpendicular do segmento [math]\overline{AB}[/math] que passa pelo ponto [math]C[/math], como queríamos mostrar.