Construa um paralelogramo [math]ABCD[/math] de lados [math]\overline{AB}[/math], [math]\overline{BC}[/math],[math]\overline{CD}[/math] e [math]\overline{DA}[/math]. Em cada um de seus lados, construa quadrados para fora do paralelogramo. Marque, então, os centros [math]E[/math], [math]F[/math], [math]G[/math] e [math]H[/math] desses quadrados e, por fim, desenhe o quadrilátero [math]EFGH.[/math]

[justify][b]Demonstração: [/b]Queremos mostrar que [math]EFGH[/math] é um quadrado. Isto é, todos os lados têm comprimentos iguais e seus ângulos internos são reto. [/justify][br]Para justificar que [math]FG=GH[/math], vamos mostrar que os triângulos [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math] são congruentes (por lado-ângulo-lado - LAL). As demais igualdades de lados pode ser feita de maneira análoga ao que faremos para essa igualdade.

Como [math]\theta+\beta=180[/math]º (Exercício 1, a seguir) e [math]\alpha+\beta=180\circ[/math] (Exercício 2), então [math]\alpha+\beta=\theta+\beta[/math], desse modo temos que [math]\alpha=\theta[/math]. Além disso, [math]\overline{BG}=\overline{CG}[/math] (ambos são a metade da diagonal do quadrado) e [math]\overline{BF}=\overline{CH}[/math], portanto, os triângulos [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math] são congruentes por LAL. Por isso, [math]FG=GH[/math].[br][br]Agora vamos mostrar que o ângulo interno de EFGH em G mede 90 graus. Para facilitar a comunicação, chame (meie os ângulos que serão usados).

Lembre-se que as diagonais de qualquer quadrado formam [math]90\circ[/math]. Por isso, [math]\omega+\pi=90\circ[/math]. Como os triângulos BFG e CGH são congruentes, os ângulos pi e delta são iguais. Portanto, omega + delta = 90. Logo gamma = 90^\circ. [br][br]Portanto, [math]EFGH[/math] é um losango com um ângulo interno reto, portanto, EFGH é um quadrado pois em qualquer paralelogramo os ângulos opostos são iguais e os ângulos consecutivos são suplementares.