[b]Newtonin algoritmi[/b] funktion nollakohdan löytämiseksi on nerokas menetelmä, joka perustuu funktion kuvaajan arviointiin omalla tangentillaan. Jos tangenttisuoran yhtälö tunnetaan, on sen nollakohdan laskeminen helppoa (jopa käsin – muistetaan kuitenkin, että Sir Isaac Newton eli vuosina 1643–1729!). Peruslähtökohtina ovat nollakohdan varma olemassaolo (voidaan varmistaa esim. Bolzanon lauseen avulla) sekä tutkittavan funktion derivoituvuus. Algoritmi etenee seuraavasti: [list=1] [*]Valitaan nollakohdalle alkuarvaus [math]x_0[/math]. Tämän arvion kannattaa olla jo "melko hyvä" algoritmin asianmukaisen toimivuuden takaamiseksi. [*]Piirretään funktion kuvaajalle kohtaan [math]x=x_0[/math] tangentti. [*]Tangetin ja [math]x[/math]-akselin leikkauskohta [math]x_1[/math] on uusi arvio funktion nollakohdaksi. [/list] Kun algoritmia toistetaan eli [i]iteroidaan[/i] riittävän monta kertaa, päästään yhä lähemmäksi nollakohdan oikeaa arvoa. Tällä sovelmalla voidaan laskea halutulle funktiolle [math]f[/math] halutulla alkuarvauksella [math]x_0[/math] viisi Newtonin algoritmin iteraatiota. Kokeile muutamaia erilaisia funktioita ja alkuarvauksia. Vastaa sitten alla oleviin kysymyksiin. Kokeile ensin ilman oppikirjaa!
Vastaa seuraaviin kysymyksiin: [list=1] [*]Mikä on alkuarvauskohtaan piirretyn tangentin yhtälö? Mistä se riippuu? [*]Mikä on ensimmäisen tangentin nollakohta [math]x_1[/math]? Miten se riippuu alkuarvauksesta? [*]Miten toinen nollakohta [math]x_2[/math] riippuu nollakohdasta [math]x_1[/math]? [*]Määritä [i]iterointikaava[/i] Newtonin algoritmille, eli selvitä, miten saat nollakohta-arvion [math]x_n[/math], jos tunnet aiemmat arvot. [*]Kokeile iterointia haluamallasi funktiolla laskimesi avulla. [*]Tuliko vastaan ongelmia? Koeta löytää tilanteita, joissa Newtonin menetelmä ei näytä toimivan? Löydätkö ainakin kaksi erilaista tilannetta? [/list]