Das Problem des [b]APOLLONIOS[/b] von Perge (ca. 265 v. Chr. bis 190 v. Chr.) stellt die Aufgabe:[br][list][*]konstruiere mit [i][b]Zirkel[/b][/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon] und [i][b]Lineal[/b][/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] zu drei [color=#00ffff][i][b]vorgegebenen Kreisen[/b][/i][/color] (die) [color=#ff0000][i][b]berührende(n) Kreise[/b][/i][/color] [br][/*][/list]Über [b]APOLLONIOS[/b] und über das Problem informiert [i][b]wikipedia[/b][/i] in [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge]Apollonios von Perge[/url] und [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem]Apollonisches Problem[/url]. In letzterem Artikel werden alle möglichen Fälle und deren Lösungen aufgelistet: die [i][b]Kreise[/b][/i] können [i][b]Geraden[/b][/i] oder [i][b]Punkte[/b][/i] sein. Die Fallunterscheidungen erfordern einigen Aufwand.[br]Auch unter den [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra[/b]-Materialien findet man zahlreiche Aktivitäten zu diesem Problem, manches muss man unter dem Stichwort "Appolonius" suchen![br][br]Im Applet oben werden [color=#00ffff][i][b]3 Kreise[/b][/i][/color] vorgegeben, als Grenzlage sind auch Punkte als Kreis mit Radius [math]\rho=0[/math] möglich. Dies genügt; denn eigentlich ist die Fragestellung eine Fragestellung der [b]MÖBIUS[/b]-Geometrie.[br]Man sollte die Aufgabe auf der Kugel untersuchen: KREISE sind Ebenen-Schnitte mit der Kugel, für PUNKTE ist das ein Schnitt mit einer Tangentialebene. Die Unterscheidung Kreis - Gerade ist auf der Kugel unnötig.[br][br]Zu drei vorgegebenen KREISEN auf der Kugel gibt es bis zu 8 berührende KREISE. Da findet sich sicher ein Projektionszentrum [math]\infty[/math] auf der Kugel, so dass nach der [i][b]stereographischen Projektion[/b][/i] auf eine Ebene von diesem Zentrum aus alle beteiligten KREISE in der Ebene tatsächlich Kreise (oder Punkte) sind [size=85](dazu [url=https://www.geogebra.org/m/Shfa6eUj#material/eX5Th4jv]die nachfolgende Seite[/url])[/size]. [br]Wenn im Applet 2 der Kreise sich schon fast berühren, erzwingt ein "Klick" den Berührfall! [br][br][color=#980000][i][b]Lösungen mit [/b][/i][b]ge[/b][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][color=#980000][b]gebra[/b][i][b]-Werkzeugen[/b][/i][/color][br][br]Diese Lösungsmöglichkeiten sind sicher nicht im Sinne der "reinen Lehre", welche die Hilfsmittel auf [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]und [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] beschränken will; wir meinen jedoch, dass man auch auf diesem Wege etwas über solche Probleme erfahren kann. Beweise können sowieso auf diese Weise nicht (?) erbracht werden! Interessant ist auch die Frage, welche der [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra[/b]-Hilfsmittel sich durch [i][b]Zirkel[/b][/i] und [i][b]Lineal[/b][/i] ersetzen ließen. [br][br]Auf den vorangegangenen Seiten des [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra-books[/b] haben wir illustriert, dass [color=#ff7700][i][b]Mittellinien[/b][/i][/color] zweier Kreise zwei konfokale Kegelschnitte ([icon]/images/ggb/toolbar/mode_ellipse3.png[/icon] oder [icon]/images/ggb/toolbar/mode_hyperbola3.png[/icon]) sind mit den Kreismittelpunkten [icon]/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon] als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]. Sie sind die Ortslinien [icon]/images/ggb/toolbar/mode_locus.png[/icon] der Punkte, die von beiden Kreisen denselben Abstand besitzen.[br]Dies kann man auch so lesen: die [color=#ff7700][i][b]Mittellinien[/b][/i][/color] sind die Ortslinien der Mittelpunkte von Kreisen, die die vorgegebenen Kreise berühren.[br][br]Zu [color=#00ffff][i][b]drei Kreisen[/b][/i][/color] gibt es [color=#ff7700][i][b]drei Kegelschnittpaare[/b][/i][/color] für die Mittelpunkte der Kreise, die jeweils zwei der vorgegebenen Kreise berühren.[br]Zwei Kegelschnitte schneiden [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] sich in bis zu 4 Punkten. Die Kegelschnitte von zwei der Kegelschnitt-Paaren schneiden sich in bis zu 16 Punkten. [br]Unter diesen Punkten gibt es bis zu 8 [color=#0000ff][i][b]gemeinsame Schnittpunkte[icon]/images/ggb/toolbar/mode_relation.png[/icon][/b][/i][/color]: dies sind die Mittelpunkte der gesuchten [color=#ff0000][i][b]Berührkreise[/b][/i][/color].[br][br]Unser Vorgehen für die "Konstruktion": [br][br][list][*]Konstruktion der Mittellinien: je 2 konfokale Kegelschnitte[/*][*]Bestimmung der Schnittpunkte für je zwei Kegelschnitt-Paare[/*][*]Bestimmung der Berührkreise mit den gemeinsamen Schnittpunkten als Mittelpunkt. [br][/*][/list][br][size=85][right][size=50][size=50]Diese Akrivität ist eine Seite des GeoGebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/Shfa6eUj]Zwei Kreise[/url] 20.05.2018, [color=#ff0000]hinzugefügt: Sept.[/color] [color=#ff0000][b]2018[/b][/color][/size][/size][/right][br]Zur Berechnung werden [i][b]Listen[/b][/i] verwendet, auch solche, die als [i][b]Folge[/b][/i] definiert sind [size=50]([i][b]Folgen[/b][/i] erleben wir oft als "zickig"!)[/size]. [br]Da Schnittpunkte oft komplex sind, d.h. reell nicht definiert sind, können sich Teile der Listen verflüchtigen, was Probleme bereiten könnte. [br]Wie man schon bei den Mittellinien 2-er Kreise und bei der Animation der berührenden Kreise beobachten konnte, bereiten Geraden als Lösungen manchmal Probleme. Oft helfen kleine Verschiebungen der Ausgangskreise den Lösungen wieder auf die Sprünge.[/size] [br][size=85]Die Konstruktionen verlangen bei der Auswahl der richtigen Teillösungen viel logische Kleinarbeit. Wir hoffen, dass nicht zu viele logische Fehlschlüsse verborgen sind.[br][i][b]Ein Beispiel:[/b][/i] ist der Mittelpunkt eines Kreises bekannt, der 2 vorgegebene Kreise berührt, so gibt es zu diesem Mittelpunkt 2 Kreise, die den einen vorgegebenen Kreis berühren. Welcher davon auch den anderen Kreis berührt, muss man prüfen: der Berührpunkt zweier Berührkreise zählt doppelt, der Schnitt zweier Kreise ohne Schnittpunkt ist nicht leer, sondern es ist {schneide(a,b)} -> { (?,?)}![br][/size][br][br][size=50][size=50][right][/right][/size][/size][br]