Questa attività mostra geometricamente quattro diverse [i]medie[/i] di due valori reali non negativi [color=#0000ff][i]a[/i][/color], [color=#ff0000][i]b[/i][/color]:[br][color=#b20ea8][i]- AM [/i]= aritmetica[/color], [color=#198f88][i][br]- GM[/i] = geometrica[/color], [br]- [color=#0a971e][i]QM[/i] = quadratica[/color][color=#d69210],[i][br]- HM[/i] =armonica[/color] [br][br]I valori di [i]a[/i] e [i]b[/i] sono visualizzati dinamicamente come segmenti sul diametro di una semicirconferenza, e possono essere modificati muovendo il punto [i]X[/i].[br][br]Muovi il punto [i]X[/i] per visualizzare geometricamente le medie di [i]a[/i] e [i]b[/i] ed esplorare la disuguaglianza [br][math]QM\left(a,b\right)\ge AM\left(a,b\right)\ge GM\left(a,b\right)\ge HM\left(a,b\right)[/math].
Ricordando le espressioni che definiscono le medie di due numeri [math]a,b\in\mathbb{R}^+_0[/math]:[br]- quadratica [math]QM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/math][br]- aritmetica [math]AM=\frac{a+b}{2}[/math][br]- geometrica [math]GM=\sqrt{ab}[/math][br]- armonica [math]HM=\frac{2ab}{a+b}[/math][br]possiamo quindi dire che vale la disuguaglianza [math]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}[/math].[br]
Per quali valori di [i]a[/i] e [i]b[/i] vale l'uguaglianza tra le medie?
La disuguaglianza detta AM-GM è particolarmente nota nella sua forma generale: dati [i]n[/i] numeri reali [math]x_1,x_2,...,x_n\ge0[/math], si ha che [math]\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_n}[/math].[br][br]