[i]Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.[/i][br][br]La costruzione con relativa dimostrazione segue quanto proposto come risposta ad un quesito nel forum del sito math.stackexchange.com reperibile all'indirizzo: https://math.stackexchange.com/questions/1041170/constructing-a-cyclic-quadrilateral-of-given-sides.[br][br]Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.[br][br]Consideriamo la relazione, valida per i quadrilateri ciclici,[br][center]tan(α/2) = √[(p − a)(p − d)/((p − b)(p − c))],[/center]dove p è il semiperimetro del quadrilatero: p = (a + b + c + d)/2 e α l’angolo relativo al vertice A.[br][br]Una volta calcolata la tan(α/2) è possibile costruire il quadrilatero ciclico ABCD:[br][list=1][*]Costruiamo il punto C e la circonferenza di centro C e raggio tan(α/2). Vincoliamo un punto L alla circonferenza e tracciamo la retta CL e la retta ad essa perpendicolare per L. Tracciamo la circonferenza di centro L e raggio unitario e la intersechiamo con la perpendicolare nei punti M e N. Tracciamo le rette CM e CN. Il triangolo CMN è isoscele su base MN e per costruzione gli angoli alla base hanno ampiezza α/2. L’angolo ∠MCN è quindi supplementare ad α.[/*][*]Costruiamo il punto B intersezione tra la circonferenza di centro C e raggio b e la retta CM.[/*][*]Costruiamo il punto D intersezione tra la circonferenza di centro C e raggio c e la retta CN. [/*][*]Costruiamo il punto A intersezione tra la circonferenza di centro B e raggio a e la circonferenza di centro D e raggio d.[/*][/list]

Nella figura dinamica il segmento di lunghezza tan(α/2), per non appesantirla, non viene costruito geometricamente ma "calcolato". La costruzione con riga e compasso del segmento di lunghezza tan(α/2) si trova all'indirizzo https://www.geogebra.org/m/qmyjzpcb.