Egy sorozat első n tagjának összege

Adjuk meg a következő sorozat első n tagjának összegét!

Nézzük a következő táblázatot!

Adjuk össze a táblázat oszlopaiban szereplő számokat! Alkalmazzuk az első néhány pozitív egész számok összegéről tanultakat!

2. táblázat

Azt sejthetjük, hogy a 2. táblázat utolsó sorában szereplő összegek a vizsgált sorozatunk tagjai. Ennek igazolásaként elég két egymást követő tag különbségét vizsgálni.

. A matematikában dörzsölt olvasó a 2. táblázat utolsó sorában felismerheti a háromszögszámokat. Az első n háromszögszám összegéről sok információ található az interneten. Most az eddigiekre alapozva mutatunk egy bizonyítást, ami a középiskolában tárgyalható. Adjuk össze a táblázatunk soraiban szereplő számokat!

3. táblázat

Alkalmazzunk algebrai átalakításokat!

4. táblázat

És ismét.

5. táblázat

Adjuk össze az 5. táblázat utolsó oszlopának elemeit!

5. táblázat + bizonyítás

Felhasználtuk az első n négyzetszám összegéről tanultakat. Egy érdekes, szemléletes "bizonyítás".

A GeoGebra "kapásból"

Tóth Julianna tanárnő teljes indukciós megoldása

Ábrahám Gábor tanár úr megoldása

Dr. Németh Zoltán tanár úr megoldása

Tóth Julianna tanárnő 2. megoldása

S végül ...

Amint látható, több, többé kevésbé különböző megoldást sikerült összegyűjteni. Tanárként azon kell elgondolkodni, hogy mikor és milyen módon "tálaljuk" diákjainknak ezt a problémát.

Kis gyerekeknél az összeadás gyakoroltatására (is) feladatul adhatjuk a sorozat tagjainak a számolását.
A sorozat első néhány tagjának összegét is számolhatják az összeadni tudó gyerekek.
A szorzással ismerkedő tanítványaink számolhatják az konkrét értékeit. (Esetleg lehet olyan gyerek aki felismerhet összegüggést a kapott értékek és a sorozat részletösszegei között.
Az első n pozitív egész szám összegéről való tanulás után (Amit szintén elég kis korban lehet vizsgálni.) elkezdődhet a "táblázatos" tárgyalásmód előkészítése.
Ezt az első n négyzetszám összegére vonatkozó képlet megismerése (Ami a két tagú összeg négyzetére és köbére vonatkozó azonosság után is lehetséges.) tetőzheti be.
A teljes indukció megismerése a probléma magasabb szintű tárgyalását teszi lehetővé.
De még a felsőoktatásban tanulók is találkozhatnak őket érdeklő ismeretekkel e problémával kapcsolatosan. (Dr. Németh Zoltán megoldása)