[size=85]Adjuk meg a következő sorozat első [i]n[/i] tagjának összegét![br][math]a_1=1,a_2=3,a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1[/math][/size][br][br][size=85]Nézzük a következő táblázatot![/size]

[size=85]Adjuk össze a táblázat oszlopaiban szereplő számokat! Alkalmazzuk [url=https://www.youtube.com/watch?v=K43bS_FRZpA]az első néhány pozitív egész számok összegéről tanultak[/url]at![/size]

[size=85]Azt sejthetjük, hogy a 2. táblázat utolsó sorában szereplő összegek a vizsgált sorozatunk tagjai. Ennek igazolásaként elég két egymást követő tag különbségét vizsgálni.[br][math]\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{\left(n-1\right)n}{2}=\frac{n}{2}\left(n+1-n+1\right)=n[/math][/size].[br][size=85]A matematikában dörzsölt olvasó a 2. táblázat utolsó sorában felismerheti a[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/H%C3%A1romsz%C3%B6gsz%C3%A1mok] háromszögszámok[/url]at. Az [url=https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/mattan/2011/matusik_edina.pdf]első [i]n[/i] háromszögszám összeg[/url]éről sok információ található az interneten. Most az eddigiekre alapozva mutatunk egy bizonyítást, ami a középiskolában tárgyalható.[br][br][/size][size=85]Adjuk össze a táblázatunk soraiban szereplő számokat![/size][br]

[size=85]Alkalmazzunk algebrai átalakításokat![/size]

[size=85]És ismét.[/size]

[size=85]Adjuk össze az 5. táblázat utolsó oszlopának elemeit![/size]

[size=85]Felhasználtuk [url=https://matekarcok.hu/az-elso-n-pozitiv-egesz-szam-negyzetosszege/]az első[i] n [/i]négyzetszám összegéről tanultak[/url]at. Egy érdekes, [url=https://pbs.twimg.com/media/BGHz2ypCYAIxzM6.png]szemléletes "bizonyítás"[/url].[/size]

[size=85]Amint látható, több, többé kevésbé különböző megoldást sikerült összegyűjteni. Tanárként azon kell elgondolkodni, hogy mikor és milyen módon "tálaljuk" diákjainknak ezt a problémát. [br][list][*][size=85]Kis gyerekeknél az összeadás gyakoroltatására (is) feladatul adhatjuk a sorozat tagjainak a számolását.[/size][/*][*][size=85]A sorozat első néhány tagjának összegét is számolhatják az összeadni tudó gyerekek.[/size][/*][*][size=85]A szorzással ismerkedő tanítványaink számolhatják az [math]\frac{n\left\langle n+1\right\rangle\left\langle n+2\right\rangle}{6}[/math] konkrét értékeit. (Esetleg lehet olyan gyerek aki felismerhet összegüggést a kapott értékek és a sorozat részletösszegei között.[/size][/*][*]Az első [i]n[/i] pozitív egész szám összegéről való tanulás után (Amit szintén elég kis korban lehet vizsgálni.) elkezdődhet a "táblázatos" tárgyalásmód előkészítése.[/*][*]Ezt az első [i]n[/i] négyzetszám összegére vonatkozó képlet megismerése (Ami a két tagú összeg négyzetére és köbére vonatkozó azonosság után is lehetséges.)[i] [/i]tetőzheti be.[/*][*]A teljes indukció megismerése a probléma magasabb szintű tárgyalását teszi lehetővé.[/*][*]De még a felsőoktatásban tanulók is találkozhatnak őket érdeklő ismeretekkel e problémával kapcsolatosan. (Dr. Németh Zoltán megoldása)[/*][/list][/size]

[size=85][url=https://www.delmagyar.hu/szeged-es-kornyeke/abraham-gabor-titka-a-szigor-3939346/]Ábrahám Gábor [/url]- megoldás[br][url=http://maximkiado.hu/termekek/view/1008]Dobcsányi János[/url] - Tőle hallottam a problémáról.[br][url=http://www.math.u-szeged.hu/mathweb/index.php/hu/munkatarsaink?id=18&bolyaiid=49]Dr. Németh Zoltán [/url]- megoldás[br][url=http://maximkiado.hu/termekek/72/73/1/T]Tóth Julianna[/url] - két megoldás[br][/size][size=85][url=http://www.math.u-szeged.hu/mathweb/index.php/hu/munkatarsaink?id=18&bolyaiid=82]Dr. Waldhauser Tamás[/url][/size] - [size=85]általánosítás[br][/size][size=85][url=https://www.inf.u-szeged.hu/hirek/nekrolog-imreh-csanad]Dr. Imreh Csanád[/url][/size]