[br][color=#980000][b]W[/b][/color][b][color=#980000]arunek wystarczający istnienia punktu przegięcia[/color][/b]: [br]Jeśli funkcja [math]f[/math] jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu [math]x_0[/math] oraz[br][list][*][math]f''(x_0)=0[/math], [br][/*][*][math]f''(x)>0[/math] dla [math]x\in S^- (x_0)[/math] i [math]f''(x)<0[/math] dla [math]x\in S^{+}(x_0)[/math] lub [br][math]f''(x)<0[/math] dla [math]x\in S^- (x_0)[/math] i [math]f''(x)>0[/math] dla [math]x\in S^{+}(x_0)[/math],[br][/*][/list]to punkt [math](x_0,f(x_0))[/math] jest punktem przegięcia wykresu funkcji [math]f[/math].[br]Twierdzenie pozostaje prawdziwe również w przypadku, gdy zamiast istnienia drugiej pochodnej w [math]x_0[/math] założymy tylko istnienie stycznej w punkcie [math](x_0,f(x_0))[/math]. [i][color=#666666][i][color=#666666][br][br][table][tr][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/td][td][i][color=#666666][i][color=#666666]Aby [i][color=#666666]za pomocą GeoGebry[/color][/i] wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:[/color][/i][/color][/i][/td][/tr][/table][/color][/i]1. W Widoku CAS definiujemy funkcję [math]f[/math]. Określamy dziedzinę [math]f[/math].[br]2. Obliczamy drugą pochodną funkcji [math]f[/math] korzystając z polecenia [b]f''(x)[/b].[br]3. Wyznaczamy punkty spełniające warunek konieczny istnienia punktu przegięcia: [math]f''(x)=0[/math]. [br]4. Wyznaczamy przedziały, na których [math]f''[/math] ma stały znak rozwiązując nierówności [math]f''(x)<0[/math] i [math]f''(x)>0[/math].[br]W punktach 3 i 4 korzystamy z polecenia [b]Rozwiąż[/b](...) lub [b]Rozwiązania[/b](...).[br]5. Sprawdzamy, czy w wyznaczonych punktach spełniony jest warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia.[/color][/i]

Wyznaczymy punkty przegięcia wykresu funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=x^5-5x^4+5x+10[/math] dla [math]x\in\mathbb{R}[/math].[/center][u]Rozwiązanie:[/u]

Funkcja [math]f[/math] jest dwukrotnie różniczkowalna w [math]\mathbb{R}[/math] i ma dwa punkty spełniające warunek konieczny istnienia punktu przegięcia: [math]x_1=0[/math] oraz [math]x_2=3[/math], więc może mieć co najwyżej dwa punkty przegięcia.

Ponieważ [math]f''(3)=0[/math], [math]f''(x)>0[/math] dla [math]x>3[/math] oraz [math]f''(x)<0[/math] dla [math]x\in\left(0,3\right)[/math], więc punkt [math](3,f(3))=(3,-137)[/math] jest punktem przegięcia wykresu funkcji [math]f[/math]. W prawo- i lewostronnym otoczeniu punktu [math]0[/math] funkcja [math]f[/math] jest wklęsła, zatem nie ma tam punktu przegięcia.