Afinné transformácie v rovine
Tento príspevok sa zaoberá určovaním typu afinného zobrazenia, ktoré je určené trojicou odpovedajúcich bodov. Spája analytickú geometriu afinných zobrazení s riešením lineárnych rovníc v prostredí GeoGebra.
Table of Contents
- Základné pojmy
- Syntetický a analytický prístup
- Transformačné rovnice rovnoľahlosti
- Analytické vyjadrenie
- Afinné zobrazenie určené trojicami určujúcich bodov
- Afinné zobrazenie určené obrazom repéra
- Osová afinita
- Samodružné prvky
- Klasifikácia afinných zobrazení
- Základné afinity
- Hyperbolická rotácia
- Zhodné zobrazenia
Syntetický a analytický prístup
Základné schémy budovania geometrie môžeme stručne vyjadriť takto:[br] [b]syntetická geometria[/b]: [br]najprv vybudujeme euklidovský priestor → potom skonštruujeme vektorový priestor nad daným poľom.[br] [b]analytická geometria[/b]: [br]najprv skonštruujeme vektorový priestor nad daným poľom → potom afinný priestor resp. euklidovský priestor.[br][br]V tomto príspevku sa budeme zaoberať analytickým vyjadrením afinných zobrazení v euklidovskej rovine. Takéto zobrazenia sú[br][list=1][*][color=#980000]zhodné zobrazenia[/color][/*][*][color=#980000]podobné zobrazenia[/color][/*][*][color=#980000]osová afinita[/color][/*][*]zobrazenia, ktoré vzniknú zložením zobrazení uvedených v bodoch 1. až 3.[br][br][/*][/list][b]Definícia [/b](Afinné zobrazenie). [br]Nech [math]f[/math] je zobrazenie v euklidovskej rovine. Zobrazenie [math]f[/math] nazývame afinné, ak obrazom ľubovoľných troch kolineárnych bodov sú totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva.
Afinné zobrazenie určené trojicou odpovedajúcich bodov: [br][color=#cc0000]A[/color][color=#cc0000](0,0)[/color][math]\mapsto[/math][color=#cc0000]A[i]'[/i](3,3), B(2,0)[/color][math]\mapsto[/math][color=#cc0000]B[i]'[/i](4,1),C(0,2)[/color][math]\mapsto[/math][color=#cc0000]C[i]'[/i](1,3)[/color][br]je prezentované nasledujúcim appletom.[br][br][color=#0000ff]V applete môžete meniť polohu určujúcich bodov [b]A, B, ..., A'[/b] . Dostaneme rôzne afinné zobrazenia. Pozorujte ako sa mení poloha repéru [b]<O', E'[sub]1[/sub], E'[sub]2[/sub]>[/b].[/color]
[br]V applete môžete využívať zaškrtávacie políčka. Po aktivovaní políčka[br][br]1) „[i]Zobraziť pohyblivý[/i] ... " zobrazí sa voľný bod [i][b]P[/b][/i], pričom s týmto bodom môžete pohybovať. Pokúste sa nájsť takú polohu bodu [i][b]P[/b][/i], aby platilo: [i][b]P = [i][b]P'[/b][/i][/b][/i]. Samodružný bod je taký bod, ktorý sa zobrazí sám na seba.[br][br]2) „[i]Zobraziť kružnicu[/i] ... " vytvorí sa obraz kružnice [i][b]k[/b][/i]([i]S[/i], [i]r[/i]=[i]SR[/i]). Z konštrukcie vidieť, že kružnica [i][b]k [/b][/i]sa zobrazí do elipsy. Nájdite takú polohu určujúcich bodov, aby obrazom kružnice bola opäť kružnica.[br][br]3) „[i]Zobraziť množinu samodružných bodov[/i]" zobrazia sa samodružné body.
Afinné zobrazenie určené trojicami určujúcich bodov
[br][br][b]Úloha[/b]: Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré je dané dvoma trojicami určujúcich bodov A, B, C, A', ...[br]Postup [br]Najskôr musíme určiť maticu [b]A [/b]= [math]\binom{a\mid b}{c\mid d}[/math] afinného zobrazenia a maticu [b]B[/b] =([math]p\mid q[/math]), ktorá bude obsahovať súradnice obrazu počiatku.[br][br]Dosadením súradníc určujúcich bodov za X resp. za X' do vzťahu X' = X . [b]A [/b]+ [b]B [/b]dostaneme spolu sústavu 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Toto riešenie nájdeme pomocou nástrojov CAS - "Tabuľka" a "Inverzná matica". [br][br][b]Riešenie[/b]. V applete sú transformačné rovnice zobrazené vľavo.[br][center][/center]
Ak pre maticu afinného zobrazenia [b]A[/b] a pre transformovanú maticu [b]A[/b][sup]T[/sup] platí [b]A [/b]x [b]A[/b][sup]T[/sup] = [i]k[/i][sup]2[/sup][b]I[/b][sub]d[/sub] , tak takéto afinné zobrazenie je podobné zobrazenie s koeficientom [i]k[/i]. Keďže naše zobrazenie má práve jeden samodružný bod [math]SAM[/math], tak afinné zobrazenie je [b]rovnoľahlosť [/b]so stredom [math]SAM[/math] a koeficientom [math]k=\frac{3}{2}[/math].
Základné afinity
Nech ????: ????2→????2 je afinné zobrazenie rôzne od identity. Ak má zobrazenie ???? bodovo samodružnú priamku, tak ho budeme nazývať [b]základná afinita[/b] v rovine. Základné afinity v rovine sú [br][list=1][*]osová súmernosť [/*][*]osová afinita.[/*][/list]