Passo 1: Sia [math]ABC[/math] un triangolo qualsiasi e siano noti due lati, ad es. [math]b[/math] e [math]c[/math] e l'angolo fra essi compreso [math]\beta[/math].[br]Passo 2: Tracciamo l'altezza [math]\overline{BD}[/math] relativa al lato [math]b[/math], dividendo così il triangolo in due triangoli rettangoli.[br]Passo 3: Consideriamo il triangolo rettangolo [math]ABD[/math] in cui il lato [math]c[/math] è l'ipotenusa. Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli, si ottiene: [math]\overline{BD}=c \sin \alpha[/math] e [math]\overline{AD}=c \cos \alpha[/math], da cui, per differenza, [math]\overline{DC}=\overline{AC}-\overline{AD} \Rightarrow \overline{DC}=b - c \cos \alpha[/math][br]Passo 4: Passando ora al triangolo [math]BDC[/math], anch'esso rettangolo di ipotenusa [math]a[/math], applicando il teorema di Pitagora si ha: [br][math]a^2 = \overline{BD}^2 + \overline{DC}^2 \Rightarrow a^2=(c \sin \alpha)^2 + (b - c \cos \alpha)^2 \Rightarrow a^2=c^2 \sin^2 \alpha + b^2 -2 b c \cos \alpha + c^2 \cos^2 \alpha \Rightarrow a^2=b^2 + c^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) -2 b c \cos \alpha[/math]. [br]Applicando la prima relazione fondamentale si ottiene: [color=#c51414][math]a^2= b^2 + c^2 - 2 b c \cos \alpha[/math][/color]. [br]Quindi: "[b][i]In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto per il coseno dell'angolo compreso[/i][/b]".

Si ringrazia Jump Er per la collaborazione.