[right][color=#ff7700][color=#000000][size=100][size=50][color=#cc4125]Diese Seite ist Teil des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url] (August 2018)[/color][/size][/size][/color][/color][/right][br]Die einfachsten Schnitte der Kugel mit einer anderen Fläche sind die [b]Ebenen-Schnitte[/b], die Schnittkurven sind [b]Kreise[/b]. Dies ist uns ein Indiz, dass es sich lohnt, Schnittkurven mit der Kugel unter [i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i] Gesichtspunkten zu untersuchen.[br]Der einfachste Fall eines Schnitts der Kugel mit einer anderen Quadrik ist der Schnitt mit zwei Ebenen, das ist eine zerfallende Quadrik. Die Schnittkurve besteht aus [b]zwei Kreisen[/b].[br][br]Im Folgenden wollen wir [i][b]möbiusgeometrische Grundlagen[/b][/i] skizzieren, wohl eher für Experten. [br]Zu Details und zu Begründungen verweisen wir auf das demnächst öffentliche [b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra-book[/b] über [color=#980000][b]Ebene Möbiusgeometrie[/b][/color].[br][br]Man kann Möbiusgeometrie auch in der [b]Euklidischen Ebene[/b] betreiben, störend sind hier die Unterscheidungen von [i][b]Kreis[/b][/i] und [i][b]Gerade[/b][/i], und vieles rechnet sich schneller komplex, in der [b]Gauss[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math]. [br]Vier Punkte liegen auf einem Kreis, wenn ihr Doppelverhältnis [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math] reell ist. Kreisgleichungen sind vom Typ [math]\alpha\cdot z\bar z+\bar c\cdot z+c\cdot \bar z+\beta=0[/math] mit [math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/math] und [math]c\in\mathbb{C}[/math]. Möbiustransformationen sind die gebrochen-linearen Abbildungen [math]z\rightarrow\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] mit komplexen Koeffizienten: sie sind [i][b]kreis[/b][/i]- und [i][b]winkeltreu[/b][/i].[br]Auch hier fehlt ein Punkt: [math]\infty[/math].[br]Dieses Manko kann man beheben, indem man zur komplexen projektiven Geraden übergeht, die Gruppe der Möbiustransformationen ist dann im Wesentlichen die Gruppe [math]\mathbf {SL(2,\mathbb{C})[/math].[br]Oder man geht mit Hilfe der [i][b]stereographischen Projektion[/b][/i] auf die [color=#980000][b]Kugel[/b][/color]: projektiv befindet man sich damit in einem projektiven Raum über einem reellen Vektorraum [b]V[sub]4[/sub][/b], in welchem eine [i][b]symmetrische quadratische Form[/b][/i] vom Typ der Kugel (+,+,+,-) ausgezeichnet ist. [i][b]Kreise[/b][/i] sind Ebenenschnitte mit der Kugel ... .[br]Die Möbiusgruppe ist damit isomorph zur Gruppe der gleichsinnigen [b]Lorentz[/b]-Transformationen [math]\mathbf {SO\left(3,1,\mathbb{R}\right)[/math]. [br][i][b]Kreisbüschel [/b][/i]sind dann [i][b]Geraden[/b][/i] in diesem projektiven Raum - genauer: betrachtet man die Ebenen durch eine Gerade und ihre Schnitte mit der Kugel, so erhält man [br][list][*][color=#980000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel [/b][/i][/color]durch die zwei Schnitt-Punkte, wenn die Gerade die Kugel in zwei Punkten schneidet [/*][*][color=#980000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] um zwei Grundpunkte, wenn die Gerade außerhalb der Kugel liegt[/*][*][color=#980000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color], wenn die Gerade eine Berührgerade ist.[br][/*][/list][br]Seltener begegnete uns eine weitere Darstellungsmöglichkeit der [color=#980000][b]Ebenen Möbiusgeometrie[/b][/color]:[br]Im reell 6-dimensionalen [color=#980000][b]Geradenvektorraum[/b][/color] [math]\mathcal{G}[/math], den man als äußeres Produkt ([b]Grassmann[/b]-Produkt) [math]\bigwedge_2 \mathbf{V_4}[/math] erhält, gibt es 2 quadratische Formen: die [b]Plücker[/b][i][b]form[/b][/i] und die [i][b]induzierte Möbiusform[/b][/i].[br]Diese verbinden sich zu einer komplexen symmetrischen Bililearform [math]\bullet[/math], die zusammen mit der Polarität [b]I[/b] den Geradenraum zu einem komplexen 3-dimensionalen Vektorraum mit nicht-ausgearteter komplexer Bilinearform ergänzt. Zusätzlich gibt es in diesem Raum eine komplexe Version des [i][b]Kreuzprodukts[/b][/i], der Geradenraum wird zur komplexen [b]LIE[/b]-Algebra. Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen ist isomorph zur [b]LIE[/b]-Gruppe [math]\mathbf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math]; der Geradenraum ist die zugehörige komplexe[b] Lie[/b]-Algebra. Vektoren [math]\mathbf\vec{g}\in \mathcal{G}[/math] sind Geraden, also Kreisbüschel, wenn [math]\mathbf\vec{g}\,^2=\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}[/math] reell ist, die Art des Kreisbüschels ergibt sich aus dem Vorzeichen.[br][br]Man kann diese Darstellung der Möbiusebene auch auf anderem Wege erhalten: in einer Art komplexen stereographischen Projektion wird die komplexe projektive Gerade auf eine nicht-ausgeartete Quadrik der komplexen projektiven Ebene projiziert.[br][size=50]Wie man in dieser Darstellung der Möbiusebene rechnen kann, wird auf der nächsten Seite dieses Buches angedeutet.[/size][br]

[color=#980000][i][b]Was soll das nützen?[/b][/i][/color][br]Der Geradenraum steckt voller Beziehungen zwischen den Objekten der Möbiusebene:[br]die isotropen Vektoren [math]\mathbf\vec{p} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}\;^2=0[/math] können als [i][b]Möbiuspunkte[/b][/i] gedeutet werden, oder als [i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i], oder als [i][b]Tangentialvektoren[/b][/i] an die Kugel oder als [i][b]Infinitesimale Erzeugende[/b][/i] von parabolischen Bewegungen. Die Vektoren [math]\mathbf\vec{g}\in \mathbf\mathcal{G}\mbox{ mit } \mathbf\vec{g}\;^2\ne 0[/math] können als Kreisbüschel gedeutet werden, wenn das Quadrat reell ist oder als Infinitesimale Möbiusbewegung: die Bahnkurven der Bewegung sind die Kreise eines Kreisbüschels oder die dazu isogonalen Kurven - das sind die [i][b]Loxodromen[/b][/i]. Durch [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{p}=1[/math] werden zu [math]\mathbf\vec{g}\in \mathbf\mathcal{G}[/math] für die isotropen Vektoren [math]\mathbf\vec{p} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}\;^2=0[/math] lineare Vektorfelder auf der Kugel definiert, deren Bahnkurven die Kreise von Kreisbüscheln oder ihre Isogonaltrajektorien sind.[br][br][color=#980000][b][i]Zurück zur Ausgangsfrage dieses Buches[/i][/b][/color]:[br]Schnitte der Kugel mit einer 2. Quadrik werden im Geradenraum beschieben als Nullstellen [b]HERMITE[/b]scher Formen auf der Möbiusquadrik. In Gleichungen ergibt dies [i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i]. Das Quadrat einer [b]HERMITE[/b]schen Abbildung ist eine komplexe symmetrische quadratische Form. Die Lösungskurven des hierdurch erklärten quadratischen Vektorfeldes sind konfokale bizirkulare Quartiken, die auch die Lösungskurven [i][b]elliptischer Differentialgleichungen[/b][/i] sind ([size=85]man vergleiche auch die Aktivität zu [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/QXHDdfAB]bizirkularen Quartiken[/url][/size]). [br][br][i][b]Elliptische Differentialgleichungen[/b][/i] der Art [math]\left(f\,'\left(z\right)\right)^2=c\cdot\left(f\left(z\right)-e_1\right)\cdot\left(f\left(z\right)-e_2\right)\cdot\left(f\left(z\right)-e_3\right)\cdot\left(f\left(z\right)-e_4\right)[/math] erzeugen [i][b]quadratische Vektorfelder[/b][/i].[br][i][b][br]Quadratische Vektorfelder[/b][/i] besitzen 4, möglicherweise zusammenfallende, Nullstellen. Lösungskurven dieser Vektorfelder können nur dann konfokale bizirkulare Quartiken sein, wenn die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [br][list][*][math]\mathbf\mathcal{J}=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2d-1\right)^2[/math] mit [math]d=Dv\left(e_1,e_2,e_3,e_4\right)=\frac{e_1-e_3}{e_2-e_3}\cdot\frac{e_2-e_4}{e_1-e_4}[/math][/*][/list]dieser 4 Nullstellen [i][b]reell[/b][/i] ist. [br]Das ist nur dann der Fall, wenn [br][list][*]die Nullstellen auf einem Kreis liegen: [math]d\in\mathbb{R}[/math] [/*][*][i]oder[/i] paarweise symmetrisch auf zwei orthogonalen Kreisen liegen: [math]\left|d\right|=1[/math] [/*][*][i]oder[/i] Nullstellen zusammenfallen[/*][/list]Nur in diesen Fällen besitzt das quadratische Vektorfeld [b]HERMITE[/b]sche Wurzeln.[br] [br]Damit schließt sich der [color=#980000][i][b]Kreis der Fragen[/b][/i][/color] nach den Schnittkurven der Möbiuskugel mit einer 2. Quadrik.[br][br][right][color=#ff7700][color=#000000][size=100][size=50][color=#cc4125]Diese Seite ist Teil des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url] (August 2018)[/color][/size][/size][/color][/color][/right][size=50]Wir erlauben uns, auf die [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechseck-Netze[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/Shfa6eUj]2 Kreise[/url] hinzuweisen, die um dieselben Themen[color=#980000][i][b] kreis[/b][/i][/color]en.[/size][br]