Diese Seite ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018)

Die einfachsten Schnitte der Kugel mit einer anderen Fläche sind die Ebenen-Schnitte, die Schnittkurven sind Kreise. Dies ist uns ein Indiz, dass es sich lohnt, Schnittkurven mit der Kugel unter möbiusgeometrischen Gesichtspunkten zu untersuchen. Der einfachste Fall eines Schnitts der Kugel mit einer anderen Quadrik ist der Schnitt mit zwei Ebenen, das ist eine zerfallende Quadrik. Die Schnittkurve besteht aus zwei Kreisen. Im Folgenden wollen wir möbiusgeometrische Grundlagen skizzieren, wohl eher für Experten. Zu Details und zu Begründungen verweisen wir auf das demnächst öffentliche gegebra-book über Ebene Möbiusgeometrie. Man kann Möbiusgeometrie auch in der Euklidischen Ebene betreiben, störend sind hier die Unterscheidungen von Kreis und Gerade, und vieles rechnet sich schneller komplex, in der Gaussschen Zahlenebene . Vier Punkte liegen auf einem Kreis, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist. Kreisgleichungen sind vom Typ mit und . Möbiustransformationen sind die gebrochen-linearen Abbildungen mit komplexen Koeffizienten: sie sind kreis- und winkeltreu. Auch hier fehlt ein Punkt: . Dieses Manko kann man beheben, indem man zur komplexen projektiven Geraden übergeht, die Gruppe der Möbiustransformationen ist dann im Wesentlichen die Gruppe . Oder man geht mit Hilfe der stereographischen Projektion auf die Kugel: projektiv befindet man sich damit in einem projektiven Raum über einem reellen Vektorraum V₄, in welchem eine symmetrische quadratische Form vom Typ der Kugel (+,+,+,-) ausgezeichnet ist. Kreise sind Ebenenschnitte mit der Kugel ... . Die Möbiusgruppe ist damit isomorph zur Gruppe der gleichsinnigen Lorentz-Transformationen . Kreisbüschel sind dann Geraden in diesem projektiven Raum - genauer: betrachtet man die Ebenen durch eine Gerade und ihre Schnitte mit der Kugel, so erhält man

• hyperbolische Kreisbüschel durch die zwei Schnitt-Punkte, wenn die Gerade die Kugel in zwei Punkten schneidet 
• elliptische Kreisbüschel um zwei Grundpunkte, wenn die Gerade außerhalb der Kugel liegt
• parabolische Kreisbüschel, wenn die Gerade eine Berührgerade ist.

Seltener begegnete uns eine weitere Darstellungsmöglichkeit der Ebenen Möbiusgeometrie: Im reell 6-dimensionalen Geradenvektorraum , den man als äußeres Produkt (Grassmann-Produkt) erhält, gibt es 2 quadratische Formen: die Plückerform und die induzierte Möbiusform. Diese verbinden sich zu einer komplexen symmetrischen Bililearform , die zusammen mit der Polarität I den Geradenraum zu einem komplexen 3-dimensionalen Vektorraum mit nicht-ausgearteter komplexer Bilinearform ergänzt. Zusätzlich gibt es in diesem Raum eine komplexe Version des Kreuzprodukts, der Geradenraum wird zur komplexen LIE-Algebra. Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen ist isomorph zur LIE-Gruppe ; der Geradenraum ist die zugehörige komplexe Lie-Algebra. Vektoren sind Geraden, also Kreisbüschel, wenn reell ist, die Art des Kreisbüschels ergibt sich aus dem Vorzeichen. Man kann diese Darstellung der Möbiusebene auch auf anderem Wege erhalten: in einer Art komplexen stereographischen Projektion wird die komplexe projektive Gerade auf eine nicht-ausgeartete Quadrik der komplexen projektiven Ebene projiziert. Wie man in dieser Darstellung der Möbiusebene rechnen kann, wird auf der nächsten Seite dieses Buches angedeutet.

Was soll das nützen? Der Geradenraum steckt voller Beziehungen zwischen den Objekten der Möbiusebene: die isotropen Vektoren können als Möbiuspunkte gedeutet werden, oder als parabolische Kreisbüschel, oder als Tangentialvektoren an die Kugel oder als Infinitesimale Erzeugende von parabolischen Bewegungen. Die Vektoren können als Kreisbüschel gedeutet werden, wenn das Quadrat reell ist oder als Infinitesimale Möbiusbewegung: die Bahnkurven der Bewegung sind die Kreise eines Kreisbüschels oder die dazu isogonalen Kurven - das sind die Loxodromen. Durch werden zu für die isotropen Vektoren lineare Vektorfelder auf der Kugel definiert, deren Bahnkurven die Kreise von Kreisbüscheln oder ihre Isogonaltrajektorien sind. Zurück zur Ausgangsfrage dieses Buches: Schnitte der Kugel mit einer 2. Quadrik werden im Geradenraum beschieben als Nullstellen HERMITEscher Formen auf der Möbiusquadrik. In Gleichungen ergibt dies bizirkulare Quartiken. Das Quadrat einer HERMITEschen Abbildung ist eine komplexe symmetrische quadratische Form. Die Lösungskurven des hierdurch erklärten quadratischen Vektorfeldes sind konfokale bizirkulare Quartiken, die auch die Lösungskurven elliptischer Differentialgleichungen sind (man vergleiche auch die Aktivität zu bizirkularen Quartiken). Elliptische Differentialgleichungen der Art erzeugen quadratische Vektorfelder. Quadratische Vektorfelder besitzen 4, möglicherweise zusammenfallende, Nullstellen. Lösungskurven dieser Vektorfelder können nur dann konfokale bizirkulare Quartiken sein, wenn die absolute Invariante

• mit

dieser 4 Nullstellen reell ist. Das ist nur dann der Fall, wenn

• die Nullstellen auf einem Kreis liegen:
• oder paarweise symmetrisch auf zwei orthogonalen Kreisen liegen:
• oder Nullstellen zusammenfallen

Nur in diesen Fällen besitzt das quadratische Vektorfeld HERMITEsche Wurzeln. Damit schließt sich der Kreis der Fragen nach den Schnittkurven der Möbiuskugel mit einer 2. Quadrik.

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Wir erlauben uns, auf die gegebra-books Kegelschnitt-Werkzeuge, Sechseck-Netze und 2 Kreise hinzuweisen, die um dieselben Themen kreisen.